Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров ОНЛАЙН

При этом рассматриваются приближения в смысле точного совпадения в узлах, в смысле наименьших квадратов и в смысле наименьшего отклонения по Чебышеву. Часть 3, Немногочленные приближения (гл. 21-27), посвящена аппроксимации функций с помощью экспоненциальных, а также с помощью рядов и интеграла Фурье. Часть 4, Алгоритмы и эвристические методы (гл. 28-32), кроме некоторых известных алгоритмов для отыскания корней функции и для ряда задач линейной алгебры, рассматривает примеры моделирования, применения метода Монте-Карло и некоторые игровые задачи. Отдельная заключительная глава посвящена вопросам организации вычислительной работы. Третья и четвертая части книги содержат ряд новых задач и методов. Изложение всех численных методов сопровождается разбором примеров из вычислительной практики автора.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода …………………………………………..12
ЧАСТЬ I. ДИСКРЕТНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Глава 1. Исчисление разностей…………………………………………17
§ 1.1. Введение и система обозначений………………………………17
§ 1.2. Разностный оператор…………………………19
§ 1.3. Повторные разности…………………………………………….21
§ 1.4. Таблицы разностей………………………………………………23
§ 1.5. Факториалы……………………………………………………..27
§ 1.6. Деление многочленов…………………………………………..29
§ 1.7. Числа Стирлинга первого рода………………………………..32
§ 1.8. Числа Стирлинга второго рода………………………………..34
§ 1.9. Пример…………………………………………………………..35
§ 1.10. Альтернативные замечания……………………………………36
§ 1.11. Общие замечания и справки………………………………….37
Глава 2. Погрешности округления………………………………37
§ 2.1. Введение…………………………………………………………37
§ 2.2. Область ответа………………………………………………….38
§ 2.3. Двойная точность………………………………………………39
§ 2.4. Счет со значащими разрядами………………………………..39
§ 2.5. Статистический подход…………………………………………40
§ 2.6. Случайное округление…………………………………………..41
§ 2.7. Переменная точность…………………………………………..41
§ 2.8. Оценка шума в таблице……………………………………….41
§ 2.9. Теория «младшего значащего разряда……………………….47
§ 2.10. Теория «старшего значащего разряда……………………..49
§ 2.11. Анализ распространения ошибки при небольшом вычислении ………………………..52
§ 2.12. Общие замечания и библиография…………………………..53
Глава 3. Исчисление сумм………………………………………………53
§ 3.1. Введение и система обозначения………………………………53
§ 3.2. Формулы суммирования……………………………………….56
§ 3.3. Суммирование по частям……………………………………….58
§ 3.4. Общие замечания………………………………………………59
Глава 4. Вычисление бесконечных рядов…………………………….59
§ 4.1. Введение…………………………………………………………59
§ 4.2. Метод Куммера………………………………..61
§ 4.3. Некоторые специальные суммы………………………………62
§ 4.4. Метод Эйлера……………………………………………………62
§ 4.5. Нелинейное преобразование……………………………………66
§ 4.6. Степенные ряды ………………………………………………..67
§ 4.7. Разложение по специальным функциям……………………….68
§ 4.8. Интегралы как приближения сумм …………………………..68
§ 4.9. Дигамма-функция………………………………………………..69
Глава 5. Уравнения в конечных разностях…………………………71
§ 5.1. Система обозначений…………………………………………..71
§ 5.2. Пример разностного уравнения первого порядка…………….72
§ 5.3. Пример уравнения второго порядка…………………………..74
§ 5.4. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами …………………………………………………………75
§ 5.5. Пример…………………………………………………………..76
Глава 6. Конечные ряды Фурье……………………………………….78
§ 6.1. Введение…………………………………………………………78
§ 6.2. Ортогональность на дискретном множестве точек…………..79
§ 6.3. Точность разложения…………………………………………..81
§ 6.4. Вычисление коэффициентов……………………………………83
§ 6.5. Метод двенадцати ординат……………………………………..85
§ 6.6. Методы с минимумом умножений…………………………….87
§ 6.7. Разложение по косинусам……………………………………..87
§ 6.8. Локальные ряды Фурье………………………88
ЧАСТЬ II. ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ — КЛАССИЧЕСКИЙ ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ
Глава 7. Введение в многочленные приближения………………….90
§ 7.1. Ориентация……………………………………………………..90
§ 7.2. Альтернативные формулировки………………………………..92
§ 7.3. Узловые точки, информация……………………………………95
§ 7.4. Класс функций………………………………………………….96
§ 7.5. Согласие…………………………………………………………97
§ 7.6. Точность…………………………………………………………98
Глава 8. Интерполяция многочленами. Данные с произвольными промежутками………………99
§ 8.1. Философия……………………………………………………….99
§ 8.2. Интерполяционные многочлены………………………………..99
§ 8.3. Метод интерполяции Лагранжа……………….103
§ 8.4. Интерполяционная формула Ньютона……………106
§ 8.5. Другая форма для таблицы разделенных разностей……109
§ 8.6. Погрешность многочленной аппроксимации………..110
§ 8.7. Трудности приближения многочленом……………113
§ 8.8. О выборе узловых точек…………………..116
Глава 9. Интерполяция многочленами. Равноотстоящие узлы. . . 117
§ 9.1. Формула Ньютона для интерполирования…………117
§ 9.2. Интерполирование в таблицах……………….118
§ 9.3. Ромбовидная диаграмма……………………………………….119
§ 9.4. Замечания к выведенным формулам…………….123
§ 9.5. Смешанные интерполяционные формулы………….124
Глава 10. Единый метод нахождения интерполяционных формул 125
§ 10.1. Введение…………………………..125
§ 10.2. Несколько типичных формул интегрирования………127
§ 10.3. Фиксированные узлы…………………….132
§ 10.4. Некоторые примеры формул………………..135
§ 10.5. Значения функции и производной в фиксированных точках 137
§ 10.6. Свободные узлы; квадратура Гаусса……………139
§ 10.7. Смешанный случай……………………..И1
§ 10.8. Замечания…………………………..142
§ 10.9. Линейные ограничения на веса………………144
§ 10.10. Формула Грегори……………………..147
§ 10.11. Выводы……………………………150
Глава 11. О нахождении остаточного члена формулы……..152
§ 11.1. Потребность в остаточном члене…………….. . 152
§ 11.2. Порядок остаточного члена…………………152
§ 11.3. Функция влияния………………………153
§ 11.4. Случай, когда G (s) имеет постоянный знак……….156
§ 11.5. Случай, когда функция влияния меняет знак………158
§ 11.6. Слабое место в методе рядов Тейлора………….160
Глава 12. Формулы для определенных интегралов……….161
§ 12.1. Введение…………………………..161
§ 12.2. Формулы Ньютона—Котеса…………………164
§ 12.3. Использование формулы Грегори……………..166
§ 12.4. Открытые формулы…………………….168
§ 12.5. Квадратура Гаусса……………………..169
§ 12.6. Формулы интегрирования смешанного гауссового типа … 170
§ 12.7. Суммирование рядов…………………….171
§ 12.8. Эффекты замены переменной……………….172
§ 12.9. Интегралы с параметром………………….173
Глава 13. Неопределенные интегралы……………….173
§ 13.1. Описание содержания главы и система обозначений …. 173
§ 13.2. Несколько простых формул для неопределенных интегралов ………………………………175
§ 13.3. Общий метод………………………..177
§ 13.4. Ошибка вследствие отбрасывания членов………..178
§ 13.5. Устойчивость…………………………181
§ 13.6. Шум округления………………………184
§ 13.7. Итоги …………………………….186
§ 13.8. Некоторые общие замечания………………………………….187
§ 13.9. Экспериментальная проверка устойчивости………………..189
§ 13.10. Пример интеграла свертки, иллюстрирующий идею устойчивости …………………………… 189
Глава 14. Введение В дифференциальные уравнения……..191
§ 14.1. Природа и смысл дифференциальных уравнений…….191
§ 14.2. Поле направлений ……………………..192
§ 14.3. Численное решение……………………..193
§ 14.4. Пример…………………………………………………………І95
§ 14.5. Устойчивость метода простого прогноза…………197
§ 14.6. Устойчивость коррекции………………….198
§ 14.7. Несколько общих замечаний………………..200
§ 14.8. Системы уравнений…………………….201
Глава 15. Общая теория методов прогноза и коррекции……202
§ 15.1. Введение …………………………..202
§ 15.2. Ошибка от отбрасывания членов……………..204
§ 15.3. Устойчивость…………………………205
§ 15.4. Помехи округления……………………..209
§ 15.5. Прогноз по трем точкам………………….209
§ 15.6. Прогнозы типа Милна……………………210
§ 15.7. Прогнозы типа Адамса—Башфорта…………….212
§ 15.8. Общие замечания о выборе метода……………213
§ 15.9. Выбор прогноза……………………….214
§ 15.10. Некоторые формулы……………………215
§ 15.11. Выбор шага и оценка точности……………..216
§ 15.12. Экспериментальная проверка……………….219
Глава 16. Специальные методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений……………..220
§ 16.1. Введение и общее описание………………..220
§ 16.2. Методы Рунге—Кутта……………………221
§ 16.3. Методы для уравнения второго порядка, когда отсутствует у…………………………….222
§ 16.4. Линейные уравнения…………………….224
§ 16.5. Метод, который использует значения у, у’ и у”…….225
§ 16.6. Случай, когда решение трудне аппроксимировать многочленом …………………………….226
§ 16.7. Краевые задачи……………………….229
Глава 17. Метод наименьших квадратов. Теория………..232
§ 17.1. Введение…………………………..232
§ 17.2. Метод наименьших квадратов……………….232
§ 17.3. Другие критерии………………………234
§ 17.4. Ошибки с нормальным распределением………….234
§ 17.5. Проведение подходящего многочлена…………..237
§ 17.6. Ортогональные функции………………….240
§ 17.7. Общие свойства ортогональных функций ………..242
§ 17.8. Неравенство Бесселя и полнота………………244
§ 17.9. Метод наименьших квадратов и коэффициенты Фурье . . . 245
§ 17.10. Ортогональные многочлены………………..247
§ 17.11. Классические ортогональные многочлены………..249
§ 17.12. Сравнение метода наименьших квадратов и разложения в
степенные ряды………………………250
§ 17.13. Метод наименьших квадратов с ограничениями; продолжение примера из § 1.9…………………..251
§ 17.14. Последние замечания о методе наименьших квадратов . . 252
Глава 18. Метод наименьших квадратов. Практика……….252
§ 18.1. Общие замечания о многочленном случае………..252
§ 18.2. Трехчленное рекуррентное соотношение…………253
§ 18.3. Построение квазиортогональных многочленов………255
§ 18.4. Немногочленный случай…………………..255
§ 18.5. Нелинейные параметры…………………..256
Глава 19. Многочлены Чебышева………………….257
§ 19.1. Введение…………………………..257
§ 19.2. Некоторые тождества……………………259
§ 19.3. Критерий Чебышева…………………….260
§ 19.4. Экономизация………………………..262
§ 19.5. Механизация процесса экономизации…………..263
§ 19.6. Смещенные многочлены Чебышева…………………….265
§ 19.7. тау-процесс Ланцоша……………………..266
§ 19.8. Видоизменение тау-метода…………………..268
§ 19.9. Несколько замечаний о чебышевском приближении…..270
§ 19.10. Критерий совпадения моментов……………..270
Глава 20. Рациональные функции………………….272
§ 20.1. Введение…………………………..272
§ 20.2. Непосредственный подход………………….273
§ 20.3. Чебышевское приближение рациональными функциями . . . 274
§ 20.4. Обратные разности (симметричные)……………275
§ 20.5. Пример……………………………278
ЧАСТЬ III. НЕМНОГОЧЛЕННЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Глава 21. Периодические функции. Аппроксимация Фурье…..280
§ 21.1. Цель этой теории………………………280
§ 21.2. Замена переменных и выбор узлов…………….281
§ 21.3. Ряды Фурье; периодические явления…………..282
§ 21.4. Интерполяция периодических функций………….285
§ 21.5. Интегрирование……………………….288
§ 21.6. Метод общего оператора…………………290
§ 21.7. Несколько замечаний относительно общего метода…..293
Глава 22. Сходимость рядов Фурье…………………294
§ 22.1. Сходимость степенных рядов и рядов Фурье………294
§ 22.2. Функции с простым разрывом……………….295
§ 22.3. Функция, имеющая непрерывные производные более высокого порядка…………..297
§ 22.4. Улучшение сходимости ряда Фурье……………298
§ 22.5. Спектр мощности………………………299
§ 22.6. Явление Гиббса……………………….300
§ 22.7. Сигма-множители Ланцоша…………………301
§ 22.8. Сравнение методов сходимости………………303
§ 22.9. Техника дифференцирования по Ланцошу………..304
Глава 23. Непериодические функции. Интеграл Фурье…….305
§ 23.1. Цель главы………………………….305
§ 23.2. Обозначения и краткое изложение результатов …….306
§ 23.3. Интеграл Фурье……………………….310
§ 23.4. Преобразование Фурье некоторых функций……….311
§ 23.5. Функции с ограниченным спектром и теорема выборки . . 313
§ 23.6. Теорема свертки ………………………315
§ 23.7. Эффект конечного суммирования……………..316
Глава 24. Линейные фильтры. Сглаживание и дифференцирование …………………317
§ 24.1. Введение…………………………..317
§24.2. Пример простого сглаживающего фильтра………..318
§ 24.3. Пример построения фильтра………………..319
§ 24.4. Фильтры вообще………………………320
§ 24.5. Анализ простых формул для дифференцирования……321
§ 24.6. Как избежать вычисления производных?…………322
§ 24.7. Метод Филона………………………..323
§ 24.8. Заключительные замечания…………………325
Глава 25. Интегралы и дифференциальные уравнения…….326
§ 25.1. Содержание главы……………………..326
§ 25.2. Метод передаточной функции для интегрирования……327
§ 25.3. Общие формулы интегрирования……………..331
§ 25.4. Дифференциальные уравнения……………….332
§ 25.5. Построение фильтров по методу Чебышева……….334
§ 25.6. Некоторые детали метода Чебышева…………..336
Глава 26. Экспоненциальная аппроксимация…………..340
§ 26.1. Введение …………………………..340
§ 26.2. О нахождении формул, использующих экспоненты, когда
показатели экспонент известны………………340
§ 26.3. Неизвестные показатели…………………..342
§ 26.4. Предупреждения ………………………343
§ 26.5. Экспоненты и многочлены…………………344
§ 26.6. Остаточные члены……………………..344
Глава 27. Особенности…………………………344
§ 27.1. Введение…………………………..344
§ 27.2. Пример интеграла с особенностью в бесконечности…..345
§ 27.3. Особенность в линейном дифференциальном уравнении . . 346
§ 27.4. Общие замечания………………………349
ЧАСТЬ IV. АЛГОРИТМЫ И ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Глава 28. Нахождение нулей…………………….350
§ 28.1. Алгоритмы и эвристические методы……………350
§ 28.2. Метод деления пополам для нахождения корня функции. . 351
§ 28.3. Линейная интерполяция…………………..352
§ 28.4. Параболическая интерполяция……………….352
§ 28.5. Некоторые общие замечания………………..353
§ 28.6. Метод Берстоу для нахождения комплексных корней многочлена ……………………………355
Глава 29. Системы линейных алгебраических уравнений……359
§ 29.1. Введение…………………………..359
§ 29.2. Метод исключения Гаусса…………………360
§ 29.3. Варианты метода Гаусса………………….362
§ 29.4. Метод Гаусса—Зайделя…………………..363
§ 29.5. Повышенная точность……………………364
§ 29.6. Общие замечания………………………364
Глава 30. Обращение матриц и собственные значения…….365
§ 30.1. Введение…………………………..365
§ 30.2. Обращение матрицы методом исключения по Гауссу …….. 365
§ 30.3. Задача нахождения собственных значений………..366
§ 30.4. Наименьшие собственные значения…………….368
§ 30.5. Несколько замечаний……………………368
Глава 31. Некоторые примеры моделирования………….369
§ 31.1. Введение …………………………..369
§ 31.2. Простой пример дискретного моделирования………370
§ 31.3. пример моделирования складских операций……….374
§ 31.4. Трехмерные крестики — нолики………………375
§ 31.5. Общие замечания о дискретном моделировании…….379
§ 31.6. Непрерывное моделирование………………..380
Глава 32. Случайные числа и методы Монте-Карло……….381
§ 32.1. Понятие случайного числа…………………381
§ 32.2. Генерирование случайных чисел в машине, работающей в
двоичной системе………………………382
§ 32.3. Генерирование случайных чисел на десятичной машине . . 386
§ 32.4. Другие распределения……………………386
§ 32.5. Метод Монте-Карло…………………….388
§ 32.6. Еще одна иллюстрация метода Монте-Карло………389
§ 32.7. Метод жулика………………………..390
Глава N+l. Искусство вычислять для инженеров и ученых……. 391
§ N+l.1. Важность вопроса……………………391
§ N+l.2. Что мы собираемся делать с ответом?………..392
§ N+l.3. Что мы знаем?……………………..393
§ N+l.4. Обдумывание вычислений……………….394
§ N+l.5. Повторение предыдущих шагов……………395
§ N+l.6. Оценка усилий, необходимых для решения задачи . . . 395
§ N+l.7. Изменения первоначального плана…………..396
§ N+l.8. Философия………………………..397
§ N+l.9. Заключительные замечания………………398
Литература………………………………….399



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
Численные методы, для инженеров, Хемминг

Коментарі до Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров ОНЛАЙН