Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики ОНЛАЙН


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию………………………………..12
Введение. Общие правила вычислительной работы……..13
Глава 1. Приближенные числа………………………………..17
§ 1. Абсолютная и относительная погрешности . . ……..17
§ 2. Основные источники погрешностей…………..20
§ 3. Десятичная запись приближенных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков………………..21
§ 4. Округление чисел………………….24
§ 5. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа…………25
§ 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот………28
§ 7. Погрешность суммы…………………31
§ 8. Погрешность разности………………..33
§ 9. Погрешность произведения……………..35
§ 10. Число верных знаков произведения………….37
§11. Погрешность частного………………..38
§ 12. Число верных знаков частного ……………39
§ 13. Относительная погрешность степени………….39
§ 14. Относительная погрешность корня…………..39
§ 15. Вычисления без точного учета погрешностей……..40
§ 16. Общая формула для погрешности…………..41
§ 17. Обратная задача теории погрешностей…………43
§ 18. Точность определения аргумента для функции, заданной таблицей ……………………….46
§ 19. Способ границ……………………48
§ 20*. Понятие о вероятностной оценке погрешности……..51
Литература к первой главе………………….52
Глава II. Некоторые сведения из теории цепных дробей…..53
§ 1. Определение цепной дроби………………53
§ 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно…..54
§ 3. Подходящие дроби …………………56
§ 4. Бесконечные цепные дроби………………64
§ 5. Разложение функций в цепные дроби………….70
Литература ко второй главе…………………73
Глава III. Вычисление значений функций………….74
§ 1. Вычисление значений полинома. Схема Горнера…….74
§ 2. Обобщенная схема Горнера…………………77
§ 3. Вычисление значений рациональных дробей………79
§ 4. Приближенное нахождение сумм числовых рядов……80
§ 5. Вычисление значений аналитической функции……..86
§ 6. Вычисление значений показательной функции……..88
§ 7. Вычисление значений логарифмической функции…….92
§ 8. Вычисление значений тригонометрических функций…..95
§ 9. Вычисление значений гиперболических функций…….98
§ 10. Применение метода итерации для приближенного вычисления значений функции………………. . . . 100
§11. Вычисление обратной величины……………101
§ 12. Вычисление квадратного корня……………104
§ 13. Вычисление обратной величины квадратного корпя…..108
§ 14. Вычисление кубического корня……………108
Литература к третьей главе…………………111
Глава IV. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений………………..112
§ 1. Отделение корней………………….112
§ 2. Графическое решение уравнений……………116
§ 3. Метод половинного деления……………..118
§ 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд)……..119
§ 5. Метод Ньютона (метод касательных)………….123
§ 6. Видоизмененный метод Ньютона……………131
§ 7. Комбинированный метод……………….132
§ 8. Метод итерации…………………..135
§ 9. Метод итерации для системы двух уравнений……..148
§ 10. Метод Ньютона для системы двух уравнений……..152
§11. Метод Ньютона для случая комплексных корней…..153
Литература к четвертой главе ………………………………….157
Глава V. Специальные приемы для приближенного решения алгебраических уравнений……………….158
§ 1. Общие свойства алгебраических уравнений……….158
§ 2. Границы действительных корней алгебраических уравнений . 163
§ 3. Метод знакопеременных сумм……………..165
§ 4. Метод Ньютона…………………..167
§ 5. Число действительных корней полинома………..169
§ 6. Теорема Бюдана — Фурье………………171
§ 7. Идея метода Лобачевского—Греффе………….176
§ 8. Процесс квадрирования корней . ……………178
§ 9. Метод Лобачевского—Греффе для случая действительных различных корней …………………..180
§ 10. Метод Лобачевского — Греффе для случая комплексных корней 183
§ 11. Случай пары комплексных корней …………..186
§ 12. Случай двух пар комплексных корней…………190
§ 13. Метод Бернулли…………………..195
Литература к пятой главе ……………………………………198
Глава VI. Улучшение сходимости рядов………….199
§ 1. Улучшение сходимости числовых рядов………..199
§ 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера — Абеля …………………….. … 205
§ 3. Оценки коэффициентов Фурье…………….210
§ 4. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье методом А. Н. Крылова…………………213
§ 5. Приближенное суммирование тригонометрических рядов . . . 222
Литература к шестой главе………………….224
Глава VII. Алгебра матриц……………… . . 225
§ 1. Основные определения………………..225
§ 2. Действия с матрицами………………..226
§ 3. Транспонированная матрица …………………………….230
§ 4. Обратная матрица………………….231
§ 5. Степени матрицы…………………. 236
§ 6. Рациональные функции матрицы……………237
§ 7. Абсолютная величина и норма матрицы………..238
§ 8. Ранг матрицы……………………244
§ 9. Предел матрицы…………………..245
§ 10. Матричные ряды ………………….247
§ 11. Клеточные матрицы…………………252
§ 12. Обращение матриц при помощи разбиения на клетки …. 255
§ 13. Треугольные матрицы………………..260
§ 14. Элементарные преобразования матриц…………263
§ 15. Вычисление определителей………………264
Литература к седьмой главе…………………267
Глава VIII. Решение систем линейных уравнений………268
§ 1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений…………………….268
§ 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера ………………………..268
§ 3. Метод Гаусса……………………272
§ 4. Уточнение корней …………………279
§ 5. Метод главных элементов………………281
§ 6. Применение метода Гаусса для вычисления определителей . . 283
§ 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса……..285
§ 8. Метод квадратных корней………………287
§ 9. Схема Халецкого ………………….290
§ 10. Метод итерации…………………..294
§ И. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации 301
§ 12. Метод Зейделя……………………303
§ 13. Случай нормальной системы……………..305
§ 14. Метод релаксации…………………307
§ 15. Исправление элементов приближенной обратной матрицы . . . 310
Литература к восьмой главе ……………………………………314
Глава IX*. Сходимость итерационных процессов для систем линейных уравнений……………….315
§ 1. Достаточные условия сходимости процесса итерации…..315
§ 2. Оценка погрешности приближений процесса итерации …. 317
§ 3. Первое достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 320
§ 4. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по m-норме………………………322
§ 5. Второе достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 323 § 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по
m-норме ………………………325
§ 7. Третье достаточное условие сходимости процесса Зейделя . . 326
Литература к девятой главе………………..328
Глава X. Основные сведения из теории линейных векторных пространств …………………….329
§ 1. Понятие линейного векторного пространства………329
§ 2. Линейная зависимость векторов……………330
§ 3. Скалярное произведение векторов…………..335
§ 4. Ортогональные системы векторов…………..338
§ 5. Преобразования координат вектора при изменениях базиса . . 340
§ 6. Ортогональные матрицы……………….342
§ 7. Ортогонализация матриц……………….343
§ 8. Применение методов ортогонализации к решению систем линейных уравнений………………….351
§ 9. Пространство решений однородной системы………356
§ 10. Линейные преобразования переменных ………..359
§11. Обратное преобразование ………………………………365
§ 12. Собственные векторы и собственные значения матрицы …. 367
§ 13. Подобные матрицы …………………372
§ 14. Билинейная форма матрицы……………..375
§ 15. Свойства симметрических матриц…………..376
§ 16*. Свойства матриц с действительными элементами ……381
Литература к десятой главе…………………385
Глава ХI. Дополнительные сведения о сходимости итерационных
процессов для систем линейных уравнений……386
§ 1. Сходимость матричных степенных рядов………..386
§ 2. Тождество Гамильтона — Кели…………….389
§ 3. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса итерации для системы линейных уравнений………..390
§ 4. Необходимые и достаточные условия сходимости процесса Зейделя для системы линейных уравнений………..392
§ 5. Сходимость процесса Зейделя для нормальной системы . . . 395
§ 6. Способы эффективной проверки условий сходимости ….. 397
Литература к одиннадцатой главе ………………………………401
Глава XII. Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы………………..402
§ 1. Вводные замечания……………………..402
§ 2. Развертывание вековых определителей ………..402
§ 3. Метод А. М. Данилевского……………..404
§ 4. Исключительные случаи в методе А. М. Данилевского . . . 410
§ 5. Вычисление собственных векторов по методу А. М. Данилевского ……………………….411
§ 6. Метод А. И. Крылова………………..412
§ 7. Вычисление собственных векторов по методу А. Н. Крылова 416
§ 8. Метод Леверрье…………………..417
§ 9. Понятие о методе неопределенных коэффициентов…….419
§ 10. Сравнение различных методов развертывания векового определителя …………………….421
§11. Нахождение наибольшего по модулю собственного значения
матрицы и соответствующего собственного вектора…..421
§ 12. Метод скалярных произведений для нахождения первого собственного значения действительной матрицы………428
§ 13. Нахождение второго собственного значения матрицы и второго собственного вектора ………………………………..431
§ 14. Метод исчерпывания…………………434
§ 15. Нахождение собственных элементов положительно определенной симметрической матрицы…………….437
§ 16. Использование коэффициентов характеристического полинома
матрицы для ее обращения……………..442
§ 17. Метод Л. А. Люстерника улучшения сходимости процесса итерации для решения системы линейных уравнений……444
Литература к двенадцатой главе……………….449
Глава XIII. Приближенное решение систем нелинейных уравнений …………………….450
§ 1. Метод Ньютона…………………..450
§ 2. Общие замечания о сходимости процесса Ньютона……456
§ 3*. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона ……………………….460
§ 4*. Быстрота сходимости процесса Ньютона……….465
§ 5*. Единственность решения………………466
§ 6*. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьировании начального приближения……………469
§ 7. Модифицированный метод Ньютона . . . ……….471
§ 8. Метод итерации ………………….474
9*. Понятие о сжимающем отображении…………477
§ 10*. Первое достаточное условие сходимости процесса итерации ………………………481
§ 11*. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации 483
§ 12. Метод скорейшего спуска (метод градиента)…….485
§ 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений…………………….490
§ 14*. Метод степенных рядов……………….494
Литература к тринадцатой главе………………496
Глава XIV. Интерполирование функций…………..497
§ 1. Конечные разности различных порядков……….497
§ 2. Таблица разностей…………………500
§ 3. Обобщенная степень………………..505
§ 4. Постановка задачи интерполирования…………507
§ 5. Первая интерполяционная формула Ньютона……..508
§ 6. Вторая интерполяционная формула Ньютона……..514
§ 7. Таблица центральных разностей…………..518
§ 8. Интерполяционные формулы Гаусса………….519
§ 9. Интерполяционная формула Стирлинга………..521
§ 10. Интерполяционная формула Бесселя…………521
§11. Общая характеристика интерполяционных формул с постоянным шагом…………………….524
§ 12. Интерполяционная формула Лагранжа………..527
§ 13*. Вычисление лагранжевых коэффициентов……….531
§ 14. Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 535
§ 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона 537
§ 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул 539
§ 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования……..540
§ 18. Разделенные разности ……………….542
§ 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента ………………… 544
§ 20. Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов 547 § 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстоящих
узлов……………………….550
§ 22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования …………………….551
§ 23. Метод интерполяции для развертывания векового определителя ……………………….553
§ 24*. Интерполирование функций двух переменных……..555
§ 25*. Двойные разности высших порядков…………557
§ 26*. Интерполяционная формула Ньютона для функции двух переменных …………………….558
Литература к четырнадцатой главе……………..561
Глава XV. Приближенное дифференцирование………..562
§ 1. Постановка вопроса…………… …. 562
§ 2. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на
первой интерполяционной формуле Ньютона ……… 563
§ 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формуле Стирлинга ………………… 567
§ 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих
точек, выраженные через значения функции в этих точках . . 571
§ 5. Графическое дифференцирование……………574
§ 6*. Понятие о приближенном вычислении частных производных 575 Литература к пятнадцатой главе………………576
Глава XVI. Приближенное интегрирование функций …….577
§ 1. Общие замечания………………….577
§ 2. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса……….580
§ 3. Формула трапеций и ее остаточный член……….582
§ 4. Формула Симпсона и ее остаточный член ……….583
§ 5. Формулы Ньютона — Котеса высших порядков……..586
§ 6. Общая формула трапеций (правило трапеций)……..588
§ 7. Общая формула Симпсона (параболическая формула) …. 589
§ 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева………593
§ 9. Квадратурная формула Гаусса…………….597
§ 10. Некоторые замечания о точности квадратурных формул . . . 604
§ 11*. Экстраполяция по Ричардсону ……………607
§ 12*. Числа Бернулли………………….611
§ 13*. Формула Эйлера—Маклорена……………613
§ 14. Приближенное вычисление несобственных интегралов …. 618
§ 15. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей…..621
§ 16. Графическое интегрирование……………..624
§ 17*. Понятие о кубатурных формулах…………..627
§ 18*. Кубатурная формула типа Симпсона…………629
Литература к шестнадцатой главе………………633
Глава XVII. Метод Монте-Карло……………..634
§ 1. Идея метода Монте-Карло………………634
§ 2. Случайные числа………………….635
§ 3. Способы получения случайных чисел…………638
§ 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло …. 641
§ 5*. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Монте-Карло…………………….650
Литература к семнадцатой главе……….. …..658
Часть 1

Часть 2



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
вычислительная математика, Методы вычислений, Численные методы, Демидович, Марон

Коментарі до Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики ОНЛАЙН