Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов ОНЛАЙН

Проводится их анализ на основе линейных преобразований и вычисления фрактальной размерности. Изложение сопровождается историческими справками.
Вторая часть посвящена фракталам, которые возникают в дискретных нелинейных динамических системах. Это множества, хаусдорфова (или фрактальная) размерность которых больше топологической размерности. К ним относятся одномерные комплексные эндоморфизмы, рассмотренные Жюлиа и Фату в начале 20 века. В книге приводятся основы современной теории подобных эндоморфизмов. Изложение иллюстрируется на примере фракталов Жюлиа, Мандельброта, Ньютона. В книгу включены новые результаты по гиперкомплексной динамике.
В приложении приводится вспомогательный математический материал из теории множеств, обсуждается определение линии, даются основы теории размерности и, прежде всего, хаусдорфовой размерности.
Книга может быть использована как учебное пособие по фракталам и ориентирована прежде всего на студентов физико-математических факультетов университетов. Первая часть доступна школьникам старших классов.
Оглавление
Введение……………………………………………………………………………………………..7
Часть 1. Конструктивные фракталы………………………………………………..12
Глава 1. Фракталы и системы счисления…………………………………….14
1. 1. Древовидная структура и системы счисления…………………………14
1.1.1. Двоичная система……………………………………………………….16
1.1.2. Четверртчная и восьмеричная системы…………………………16
1.1.3. Троичная система……………………………………………………….16
1.2. Решето Серпинского……………………………………………………………..17
1.3. Фрактал Кантора…………………………………………………………………..19
1.3.1. Арифметические свойства фрактала Кантора………………20
Глава 2. Фракталы и меандры……………………………………………………..22
2.1. Эксперимент Ричардсона………………………………………………………22
2.2. Степень изгибания кривой (первое знакомство с фрактальной размерностью)…………………………………………………………………………….24
2.3. Кривая Коха………………………………………………………………………….25
2.4. Вариации на тему кривой Коха………………………………………………28
2.5. Общая схема построения конструктивных фракталов…………….31
2.5.1. Варианты……………………………………………………………………32
2.6. Семейство драконов………………………………………………………………38
2.6.1. Кривая «Дракона»………………………………………………………39
Глава 3. Спирали, деревья, звезды……………………………………………….42
3.1. Спирали………………………………………………………………………………..42
3.2. Дерево Пифагора…………………………………………………………………..45
3.2.1. Склонившееся (спиральное) дерево Пифагора……………..47
3.3. Звезды…………………………………………………………………………………..50
Глава 4. Анализ конструктивных фракталов……………………………….54
4.1. Инвариантные преобразования………………………………………………54
4.2. Поворот………………………………………………………………………………..56
4.3. Сжатие (растяжение)……………………………………………………………..57
4.4. Поворот с растяжением (сжатием)…………………………………………58
4.5. Применение поворота-сжатия……………………………………………….59
4.6. Отражение…………………………………………………………………………….66
4.7. Применения сжатия-отражения……………………………………………..67
Глава 5. Случайность во фракталах……………………………………………..70
5.1. Броуновская крртвая……………………………………………………………….74
5.2. Квазислучайность в динамике……………………………………………….74
5.2.1. Модель ограниченного роста популяций……………………..75
5.2.2. Определение детерминированного хаоса по Девани…….80
Часть 2. Введение во фрактальную динамику…………………………………82
Глава 6. Одномерные комплексные отображения………………………..83
6.1. Итерации комплексных функций. Множества Жюлиа и Фату… 83
6.1.1. Основы теории множеств Жюлиа………………………………..83
6.2. Одномерные комплексные рациональные эндоморфизмы………95
Глава 7. Фракталы Жюлиа и Мандельброта………………………………100
7.1. Фракталы Жюлиа………………………………………………………………..100
7.2. Фрактал Мандельброта………………………………………………………..106
7.3. Фрактал Мандельброта на экране компьютера……………………..10
Глава 8. Фракталы Ньютона………………………………………………………109
Глава 9. Элементы гинеркомнлексной динамики…………………….. 112
9.1. Гиперкомплексньте числа и кватернионы……………………………112
9.2. Отображение Жюлиа в 3-х мерном гиперпространстве…………113
9.2.1. Свойства отображения J3D………………………………………..115
9.3. Группы симметрий и мозаики в 3-х мерном гиперпространстве…………………………………………………………………………………………..127
9.3.1. Конструирование Г-инвариантных функций………………128
9.3.2. Определение цвета……………………………………………………129
Приложение…………………………………………………………………………………….131
Глава 10. Краткие сведения из теории множеств………………………..131
10.0.1. Мощность множества……………………………………………..132
10.0.2. Примеры эквивалентных множеств………………………….133
10.1. Счетные множества……………………………………………………………134
10.2. Множества мощности континуума……………………………………..134
10.3. Кольца и алгебры множеств……………………………………………….135
10.4. Точечные множества в евклидовом пространстве……………….136
10.5. Предельные точки……………………………………………………………..137
10.6. Замкнутые и открытые множества……………………………………..138
Глава 11. Что такое линия?…………………………………………………………139
11.1. Первые определения линии. Жордановы кривые. Кривая Пеано……………………………………139
11.2. Канторовы кривые. Ковер Серпинского……………………………..141
11.3. Урысоновское определение линии……………………………………..142
Глава 12. Хаусдорфова мера и размерность………………………………..143
12.1. Хаусдорфова мера……………………………………………………………..143
12.2. Хаусдорфова размерность………………………………………………….146
12.2.1. Открытые множества………………………………………………147
12.2.2. Гладкие множества………………………………………………….148
12.2.3. Монотонность…………………………………………………………148
12.2.4. Счетная устойчивость……………………………………………..149
12.2.5. Счетные множества…………………………………………………149
12.3. Вычисление хаусдорфовой размерности – простые примеры. 151
12.4. О других размерностях………………………………………………………155
12.4.1. Предельная емкость. Фрактальная размерность………..155
12.4.2. Инвариантная мера………………………………………………….156
12.4.3. Поточечная размерность………………………………………….157
Список литературы……………………………………………………………………..158



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
Фракталы, Морозов, теоря фракталов

Коментарі до Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов ОНЛАЙН