Толстов Г.П. Мера и интеграл ОНЛАЙН


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие………….7
Глава I. Введение……….. 9
§ 1. Кольца и алгебры множеств……. 9
§ 2. Полукольца………..14
§ 3. Борелевские кольца и алгебры, сигма-кольца. Борелевские множества……….14
§ 4. Последовательности множеств, их пределы (по Борелю)………….21
§ 5. Функции множества, конечная и счетная аддитивность ………….24
§ 6. Непрерывность счетно-аддитивной функции, заданной на кольце………..30
§ 7. О группировке членов положительного ряда ………32
Глава II. Мера — начальные сведения……35
§ 1. Абстрактная мера, ее общие свойства; вероятностная мера…………35
§ 2. Продолжение меры — постановка задачи …41
§ 3. Продолжение меры с полукольца на кольцо, минимальное над ним……….43
§ 4. Мера Стилтьеса на прямой, критерий счетной аддитивности …………46
§ 5. Функция распределения меры на прямой … 51
§ 6. Мера Стилтьеса на плоскости и в я-мерном пространстве ………….54
§ 7. Функция распределения меры на плоскости и в n-мерном пространстве……..70
§ 8. Классы σ (М) и δ (М); μ-измеримость …. 74
§ 9. Лузинские меры……….79
§ 10. Борелевские меры. Полные меры…..80
Глава III. Продолжение меры. Меры Лебега и Лебега — Стилтьеса………..86
§ 1. Внутренняя и внешняя меры, индуцированные произвольной мерой. Продолжение меры по схеме древних греков…………86
§ 2. Продолжение меры по схеме Жордана …. 91
§ 3. Продолжение счетно-аддитивной меры с кольца М на классы σ(М) и δ (М)……..93
§ 4. Продолжение счетно-аддитивной меры с σ-кольца М на класс а(М)……….105
§ 5. Продолжение счетно-аддитивной меры по схеме Лебега. Внутренняя и внешняя меры Лебега….105
§ 6. Свойства лебеговского продолжения. Борелевское продолжение счетно-аддитивной меры ….110
§ 7. Мера Лебега на прямой……..114
§ 8. Мера Лебега — Стилтьеса на прямой …. 120
§ 9. Функция распределения счетно-аддитивной меры на прямой………124
§ 10. Мера Лебега на плоскости и в n-мерном пространстве …………..126
§ 11. Мера Лебега — Стилтьеса на плоскости n в m-мерном пространстве……….134
§ 12. Функция распределения счетно-аддитивной меры на плоскости и в n-мерном пространстве …..137
Глава IV. Измеримые функции……. 144
§ 1. Х-измеримые функции, их простейшие свойства. Борелевские функции и функции, измеримые по Лебегу ………….144
§ 2. Характеристические функции. Ступенчатые функции…………..148
§ 3. Арифметические операции над измеримыми функциями, суперпозиции………153
§ 4. р-измеримые функции. Понятие «почти всюду» …….156
§ 5. Сходимость почти всюду, сходимость по мере …….159
§ 6. Теорема Д. Ф. Егорова……..166
§ 7. Теорема Н. Н. Лузина……..168
Глава V. Произведение мер………175
§ 1. Ступенчатый интеграл……..175
§ 2. Прямые произведения множеств и классов множеств ………179
§ 3. Произведение мер, задапных на полукольцах …….185
§ 4. Лебеговское и борелевское произведения мер …….190
Глава VI. Интеграл по лузинской мере (случай неотрицательной функции)……..198
§ 1. Ординатные множества……..198
§ 2. Интеграл от неотрицательной функции — определение и простейшие свойства…….202
§ 3. Простейшие свойства, специфические для интеграла от неотрицательной функции……207
§ 4. Интегрирование последовательностей неотрицательных функций………..212
§ 5. Линейность интеграла………218
§ 6. Интегрирование положительных рядов …. 220
Глава VII. Интеграл по лузинской мере (без ограничения на знак функции)……..223
§ 1. Определение………..223
§ 2. Простейшие свойства интеграла. Теорема Лебега 225
§ 3. Интегральные суммы Лебега……235
§ 4. Интегральные суммы Римана. Интеграл Римана . 238
§ 5. Иптеграл как функция множества. Абсолютная непрерывность ………..247
§ 6. Свойства интеграла, связанные с операциями над мерой; интегральное преобразование меры …. 253
§ 7. Атомы, непрерывно распределенная мера, интеграл при наличии атомов………259
Глава VIII. Интеграл Лебега и Лебега —Стилтьеса……265
§ 1. Интеграл Лебега……….265
§ 2. Интеграл Лебега — Стилтьеса — вводные замечания, терминология и обозначения…….270
§ 3. Дискретная мера Лебега — Стилтьеса; интеграл в этом случае………..274
§ 4. Мера Лебега — Стилтьеса, заданная интегралом; интеграл по такой мере……..279
§ 5. Свойства интеграла Лебега — Стилтьеса, связанные с простейшими операциями над мерами ….. 284
§ 6. Интеграл Лебега — Стилтьеса при наличии атомов…..287
Глава IX. Теорема Фубини………292
§ 1. Монотонные классы множеств……292
§ 2. Свойство Фубини……….294
§ 3. Теорема Фубини в случае борелевского произведения мер для конечного прямоугольника и ограниченной функции……….299
§ 4. Теорема Фубини для борелевского произведения мер в случае существования внутреннего интеграла ……..305
§ 5. Свойство Фубини в широком смысле …….311
§ 6. Теорема Фубини для борелевского произведения мер в общем случае………315
§ 7. Теоремы о сечениях множеств и функций…………………318
§ 8. Теорема Фубини в случае лсбеговского произведения мер…………320
Глава X. Преобразование интеграла при отображении ……..327
§ 1. Измеримые отображения…….327
§ 2. Преобразование меры при отображении……………..332
§ 3. Преобразование интеграла при отображении. Связь абстрактного интеграла с одномерным интегралом Лебега — Стилтьеса………333
Глава XI. Функции множества на борелевских кольцах 340
§ 1. Сосредоточенные фупкции. Свойства меры, заданной на борелевском кольце…….340
§ 2. Обобщенная мера……….341
§ 3. Вариации функции множества. Вариации интеграла 344
§ 4. Ограниченность счетно-аддитивной функции, заданной на борелевском кольце…….346
§ 5. Теорема Жордана о вариациях счетно-аддитивной функции, заданной на борелевском кольце; ее следствия ………….347
§ 6. Разложение в смысле Хана…….350
§ 7. Разложение функции множества на абсолютно непрерывную и сингулярную составляющие (разложение в смысле Лебега)……..354
Глава XII. Теорема Радона — Никодима и ее приложения ……………361
§ 1. Теорема Радона — Никодима для борелевской алгебры ………….361
§ 2. Усиление теоремы РадонаНикодима …. 364
§ 3. Иптеграл по абсолютно непрерывной мере ……………………367
§ 4. Лебеговское разложение интеграла на абсолютно непрерывную и сингулярную составляющие…….368
§ 5. Лебеговское разложение интеграла при наличии атомов………….370
§ 6. Лебеговское разложение интеграла Лебега — Стилтьеса………….372
§ 7. Абсолютно непрерывные и сингулярные функции точки на прямой. Неопределенный интеграл Лебега 376
Глава XIII. Интеграл по обобщенной мере…..385
§ 1. Определение………..385
§ 2. Лебеговское разложение интеграла по обобщенной мере………….386
§ 3. Обобщенная мера Лебега — Стилтьеса; интеграл по такой мере…………389
§ 4. Лебеговское разложение интеграла Лебега — Стилтьеса по обобщенной мере ….391



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
Функциональный анализ, Толстов функциональный анализ

Коментарі до Толстов Г.П. Мера и интеграл ОНЛАЙН