Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа ОНЛАЙН


Книга предназначается для студентов педагогических институтов в качестве учебного пособия по новому курсу, введенному в учебный план под названием: «Дополнительные главы математического анализа». Утвержденная Министерством просвещения РСФСР программа этого курса состоит из трех вариантов. Содержание каждого из них включает в себя соответственно материал I и II, I и III, II и III частей книги. Часть I в основном совпадает со вторым изданием книги автора «Теория функций действительного переменного».
Содержание
Предисловие ………………………………. 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава I. Общая теория множеств………………… 4
§ 1. Понятие множества……………………… 4
§ 2. Конечные и бесконечные множества……………. 5
§ 3. Подмножества, включение………………….. 6
§ 4. Теоретико-множественные операции…………….. 6
§ 5. Эквивалентность множеств………………….. 10
§ 6. Понятие мощности. Кардинальные числа………….. 11
§ 7. Сравнение мощностей…………………….. 12
§ 8. Существование сколь угодно высоких мощностей…….. 15
§ 9. Счетные множества……………………… 16
Упражнения к главе I…………………………. 22
Глава II. Теория точечных множеств…….. 24
§ 1. Множества рациональных чисел………………. 24
§ 2. Множество действительных чисел…………….. 25
§ 3. Множество мощности континуума…………….. 28
§ 4. Множества пространства Еп………………… 32
§ 5. Предельные точки……………………… 35
§ 6. Замкнутые и открытые множества…………….. 40
§ 7. Строение линейных открытых и замкнутых множеств….. 47
§ 8. Множество Кантора и его свойства……………. 52
§ 9. Мощность совершенного множества……………. 54
§ 10. Точки конденсации. Мощность несчетного замкнутого множества …………. 55
Упражнения к главе II………………………… 58
Глава III. Функции…………………………. 61
§ 1. Общее понятие функции…………………… 61
§ 2. Верхняя и нижняя грани функции. Колебание………. 62
§ 3. Непрерывность………………..*……… 66
§ 4. Основные свойства непрерывных функций………… 70
§ 5. Точки разрыва . ………………………. 74
§ 6. Точки разрыва монотонной функции……………. 79
§ 7. Функции с ограниченным изменением……………. 81
Упражнения к главе III………………………… 88
Глава IV. Непрерывные кривые…………………. 91
§ 1. Понятие непрерывной кривой………………… 91
§ 2. Кривые Жордана……………………. 93
§ 3. Кривые Пеано…………………………. 93
§ 4. Кривые Кантора и Урысона…………………. 94
§ 5. Спрямляемые кривые…………………….. 96
Упражнения к главе IV………………………… 99
Глава V. Мера……………………………. 160
§ 1. Мера Жордана для линейных множеств………….. 100
§ 2. Мера Жордана для множества Еп. Квадрируемые и кубируе-
мые множества …………….. 106
§ 3. Мера Лебега для линейных множеств……………. ПО
§ 4. Свойства множеств, измеримых по Лебегу………… 116
§ 5. Измеримые функции……………………… 122
Упражнения к главе V………………………… 124
Глава VI. Интеграл………………………… 125
§ 1. Интеграл Римана……………………….. 125
§ 2. Теорема Лебега………………………… 131
§ 3. Интеграл Стилтьеса……………………… 135
§ 4. Интеграл Лебега……………………….. 139
Упражнения к главе VI………………………… 143
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Глава VII. Метрические пространства……………… 146
§ 1. Основные понятия………………………. 146
§ 2. Примеры метрических пространств……………… 148
§ 3. Полнота метрических пространств……………… 149
§ 4. Теорема о замкнутых шарах…………………. 152
§ 5. Метод сжатых отображений…………………. 153
§ 6. Применение метода сжатых отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений……………. 155
§ 7. Применение метода сжатых отображений в алгебре…… 156
§ 8. Применение метода сжатых отображений в математическом
анализе…………………………….. 157
Упражнения к главе VII……………………….. 159
Глава VIII. Сепарабельность и компактность…………. 159
§ 1. Сепарабельность пространств L2 и Lp………….. 159
§ 2. Сепарабельность пространства Lp……………… 161
§ 3. Пространство т как пример несепарабельного пространства. . 162
§ 4. Компактность множеств пространства………….. 163
§ 5. Общий критерий компактности……………….. 164
§ 6. Компактность множеств в пространстве С…………. 165
§ 7. Компактность множеств в пространстве Lp…………. 168
§ 8. Компактность множеств в пространстве Lp………… 169
Глава IX. Непрерывные функционалы и операторы……… 170
§ 1. Непрерывные функционалы…………………. 171
§ 2. Общие свойства непрерывных функционалов……….. 172
§ 3. Равномерная непрерывность функционала…………. 173
§ 4. Непрерывные операторы…………………… 175
§ 5. Свойства непрерывных операторов…………….. 176
Упражнения к главе IX. . …………………….. 177
Глава X. Линейные функционалы, линейные операторы…… 178
§ 1. Линейные пространства……………………. 173
§ 2. Линейные функционалы…………………… 180
§ 3. Свойства линейных функционалов……………… 182
§ 4. Слабая сходимость линейных функционалов………… 184
§ 5. Линейные операторы……………………… 187
§ 6. Свойства линейных операторов……………….. 189
Упражнения к главе X………………………… 191
Глава XI. Применения функционального анализа в вариационном исчислении………… 191
§ 1. Дифференциал, вариация линейного функционала…….. 192
§ 2. Экстремум дифференцируемого функционала……….. 193
§ 3. Уравнение Эйлера………………………. 194
§ 4. Решение задачи о брахистохроне………………. 196
§ 5. Задача о наименьшей поверхности вращения……….. 199
§ б. О других применениях функционального анализа в вариационном исчислении…………. 200
Упражнения к главе XI………………………… 201
Глава XII. Применения функционального анализа в теории интегральных уравнений………. 202
§ 1. Вопрос о существовании решения интегрального уравнения…..202
§ 2. Вполне непрерывные операторы………………. 204
§ 3. Теорема В. В. Немыцкого………………….. 204
§ 4. Линейные интегральные уравнения…………….. 206
§ 5. Собственные значения, спектр……………….. 207
§ 6. Метод последовательных приближений, построение резольвенты …………. 208
Упражнения к главе XII………………………. 211
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Глава XIII. Гармонические функции………………. 213
§ 1. Основные определения……………………. 213
§ 2. Свойства гармонических функций и гармонических пар……..215
§ 3. Теорема Дзядыка……………………….. 217
§ 4. Понятие конформного отображения…………….. 217
§ 5. Конформность отображения гармонической парой…….. 218
§ 6. Коэффициент растяжения…………………… 220
Упражнения к главе XIII……………………….. 223
Глава XIV. Комплексные числа, последовательности, ряды ….224
§ 1. Комплексное число как оператор……………… 224
§ 2. Плоскость Гаусса………………………. 226
§ 3. Тригонометрические и алгебраические формы комплексного числа………… 227
§ 4. Действия над комплексными числами……………. 227
§ 5. Числовые последовательности и ряды……………. 230
§ 6. Признак Коши — Адамара………………….. 232
§ 7. Степенные ряды……………………….. 233
Упражнения к главе XIV……………………….. 237
Глава XV. Функции комплексного переменного, аналитические функции……….. 238
§ 1. Непрерывность функции комплексного переменного…… 239
§ 2. Дифференцируемость функции комплексного переменного . . 241
§ 3. Определение и свойства аналитической функции…….. 242
§ 4. Конформность отображения аналитической функции…… 243
Упражнения к главе XV……………………….. 244
Глава XVI. Элементарные аналитические функции, конформные отображения………….. 244
§ 1. Линейная функция………………………. 244
§ 2. Бесконечно удаленная точка…………………. 245
§ 3. Функция f(z)=1/z………………………. 246
§ 4. Дробно-линейная функция………………….. 247
§ 5. Степенная функция. Поверхность Римана…………. 248
§ 6. Показательная функция……………………. 250
§ 7. Тригонометрические функции………………… 253
§ 8. Гиперболические функции………………….. 256
§ 9. Логарифмическая функция………………….. 262
Упражнения к главе XVI…………….. 263
Глава XVII. Интеграл. Ряд Тейлора……………….. 264
§ 1. Интеграл……………………………. 264
§ 2. Существование и вычисление интеграла. Свойства интеграла. 265
§ 3. Теорема Коши…………………………. 267
§ 4. Интегральная формула Коши………………… 271
§ 5. Разложение аналитической функции в степенной ряд …..274
§ 6. Ряд Тейлора………………………….. 276
§ 7. Теорема единственности для аналитических функций…… 278
§ 8. Понятие об аналитическом продолжении………….. 280
§ 9. Определение класса аналитических функций……….. 282
Упражнения к главе XVII………………………. 284
Глава XVIII. О применениях теории функций комплексного переменного………… 285
§ 1. О применениях в математическом анализе………… 285
§ 2. О применениях в алгебре………………….. 287
§ 3. О применениях в картографии……………….. 288
§ 4. О применениях в гидро- и аэромеханике…………. 290
§ 5. Функция Н. Е. Жуковского…………………. 293
§ 6. Критерий Рауса — Гурвица…………………. 294
Упражнения к главе XVIII………………………. 300
Дополнительная литература ………………………. 301
Алфавитный указатель…………………………. 303
Указатель специальных знаков…………………….. 307



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
Макаров функциональный анализ

Коментарі до Макаров И.П. Дополнительные главы математического анализа ОНЛАЙН