Федоров В. М. Курс функционального анализа: Учебник ОНЛАЙН

Следует отметить, что общая точка зрения функционального анализа, развиваемая в этом курсе, не является целью сама по себе, а только средством для изучения современных областей математического анализа. Например, многие трудные топологические вопросы функционального анализа излагаются на основе пространств сходимости, что позволяет быстрее и проще войти в курс теории обобщенных функций.
В пределах каждой излагаемой темы мы вынуждены быть максимально краткими, и ограничиваться лишь выяснением наиболее важных вопросов, вполне осознавая, что читатель, быть может, в некоторых случаях, останется неудовлетворенным. Поэтому ряд интересных тем и лежащие в стороне вопросы были вынесены в упражнения и задачи.
Последняя глава книги содержит список упражнений и задач. Большинство из них не требуют особой сообразительности, а предназначаются для более глубокого усвоения материала. От студентов требуется владение некоторыми вопросами математического анализа, например, в объеме стандартных первых четырех семестров. При этом условии книгой можно пользоваться и для самостоятельного изучения предмета.
Оглавление
Предисловие…………………. 6
Глава 1. Измеримые множества………… 7
§ 1. Мера на полукольце множеств……… 7
§ 2. Продолжение меры на кольцо………. 13
§ 3. Мера Стилтьеса на прямой……….. 15
§ 4. Теорема Каратеодори о внешней мере …..18
§ 5. Продолжение меры по Лебегу………. 21
§ 6. Продолжение меры по Жордану …….. 27
§ 7. Измеримые функции и их свойства……. 30
§ 8. Сходимость почти всюду…………. 34
§ 9. Теоремы Егорова и Лузина……….. 36
Глава 2. Интеграл Лебега …………… 40
§ 1. Интеграл по конечно-аддитивной мере….. 40
§ 2. Интеграл по счетно-аддитивной мере….. 46
§ 3. Счетная аддитивность интеграла…….. 50
§ 4. Абсолютная непрерывность интеграла….. 52
§ 5. Теорема о монотонной сходимости……. 55
§ 6. Предельный переход под интегралом…… 57
§ 7. Прямое произведение мер………… 60
§ 8. Теорема Фубини о повторных интегралах … 63
§ 9. Мера Лебега в пространстве Шп …….. 67
§ 10. Критерий интегрируемости по Риману….. 70
Глава 3. Банаховы пространства ……….. 74
§ 1. Нормированные пространства………. 74
§ 2. Пространство ограниченных операторов …. 77
§ 3. Изоморфизм банаховых пространств…… 79
§ 4. Принцип продолжения операторов……. 82
§ 5. Теорема Хана-Банаха о продолжении….. 84
§ 6. Сопряженные пространства……….. 87
§ 7. Отображение двойственности………. 94
§ 8. Неравенства Гельдера и Минковского….. 97
§ 9. Лебеговы пространства LP(X)………. 101
§ 10. Сопряженное пространство L*(X) ……. 105
§ 11. Сопряженные линейные операторы……. 108
Глава 4. Наилучшие приближения ………. 113
§ 1. Существование и единственность…….. ИЗ
§ 2. Теорема Чебышева об альтернансе……. 117
§ 3. Экстремальные задачи о полиномах…… 121
§ 4.Наилучшие приближения в Lx(X)……. 127
§ 5. Наилучшие приближения в LP{X)……. 131
§ 6. Всюду плотные множества в LP(X)……. 135
§ 7. Аппроксимация гладкими функциями….. 139
Глава 5. Гильбертовы пространства ……… 143
§ 1. Евклидовы пространства…………. 143
§ 2. Теорема о наилучшем приближении…… 146
§ 3. Теорема Рисса о представлении……… 150
§ 4. Ортонормированные системы………. 153
§ 5. Теорема Стеклова о полноте……….. 155
§ 6. Изоморфизм гильбертовых пространств …. 157
Глава 6. Преобразование Фурье………… 162
§ 1. Преобразование Фурье … … . 162
§ 2. Формулы преобразования Фурье…….. 164
§ 3. Оператор Фурье в пространстве …. 170
§ 4. Теорема Планшереля об операторе Фурье . . . 174
§ 5. Система собственных функций Эрмита …. 176
Глава 7. Пространства сходимости ………. 180
§ 1. Аксиомы сходимости по Фреше……… 180
§ 2. Линейные пространства сходимости…… 182
§ 3. Полнота сопряженного пространства…… 185
§ 4. Принцип равномерной сходимости. …… 187
§ 5. Локально выпуклые пространства……. 191
§ 6. Примеры пространств сходимости……. 194
Глава 8. Обобщенные функции ………… 198
§ 1. Сопряженное пространство 198
§ 2. Действия с обобщенными функциями….. 203
§ 3. Структура обобщенных функций…….. 206
§ 4. Сопряженное пространство …… 210
§ 5. Регулярные обобщенные функции……. 215
§ 6. Пространство Соболева ……… 218
§ 7. Пространство Шварца ……… 223
§ 8. Преобразование Фурье в …….. 226
Глава 9. Ограниченные операторы ……….233
§ 1. Теорема Бэра о категории………… 233
§ 2. Принцип равномерной ограниченности 236
§ 3. Сильная и слабая сходимости………. 239
§ 4. Теорема о замкнутом графике………. 244
§ 5. Теорема об обратном операторе……… 247
§ 6. Спектр ограниченного оператора…….. 252
§ 7. Граница спектра и спектральный радиус …. 257
Глава 10. Компактные множества ………..264
§ 1. Свойства компактных множеств…….. 264
§ 2. Критерий компактности Хаусдорфа……. 267
§ 3. Критерий компактности в С(К)……… 268
§ 4. Критерий компактности в LP ………. 272
§ 5. Критерий компактности в LP(X)…….. 273
§ 6. Слабо компактные множества……… 276
Глава 11. Компактные операторы ………..280
§ 1. Свойства компактных операторов…….. 280
§ 2. Теорема Рисса-Шаудера…………. 284
§ 3. Четыре теоремы Фредгольма………. 288
§ 4. Свойства эрмитовых операторов…….. 293
§ 5. Теорема Гильберта-Шмидта……….. 295
§ 6. Интегральные операторы Фредгольма 298
§ 7. Задача Штурма-Лиувилля………… 305
Глава 12. Упражнения и задачи…………. 311
§ l.Mepa и интеграл Лебега…………. 311
§ 2. Банаховы и гильбертовы пространства 320
§ 3. Пространства обобщенных функций…… 330
§ 4. Спектральная теория операторов…….. 340



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
Функциональный анализ, учебник по функану, Федоров функциональный анализ

Коментарі до Федоров В. М. Курс функционального анализа: Учебник ОНЛАЙН