Соболев С.Л. Уравнения математической физики ОНЛАЙН


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию………………………………….7
Предисловие к первому изданию……………………………………8
Лекция I. Вывод основных уравпениЁ…………………………9
§ 1. Формула Остроградского………………………………..9
§ 2. Уравнение колебаний струны…………………………….И
§ 3. Уравнение колебаний мембраны…………………………14
§ 4. Уравнение неразрывности при движении жидкости и уравнение Лапласа…………………………………………..16
§ 5. Уравнение передачи тепла………………………………19
§ 6. Звуковые волны…………………………………………23
Лекция II. Постановка задач математической физики. Пример Адамара ……….28
§ 1. Начальные и краевые условия…………………………..28
§ 2. Зависимость решения от предельных условий Пример Адамара ……………32
Лекция 111. Классификация линейных уравнений 2-го порядка 39
§ 1. Линейные уравнения и квадратичные формы. Канонический вид уравнения……………..39
§ 2. Канонический вид уравнений с двумя независимыми переменными …………………..44
§ 3. Второй канонический вид гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными………47
§ 4. Характеристики…………………………………………48
Лекция IV. Уравнение колебаний струны и его решение методом Даламбера…………………..52
§ 1. Формула Даламбера. Неограниченная струна…………….52
§ 2. Струна с двумя закрепленными концами………………..55
§ 3. Решение задачи для неоднородного уравнения и для более общих граничных условий………57
Лекция V. Метод Римана……………………………………..63
§ 1. Первая краевая задача для гиперболических уравнений … 63
§ 2. Сопряженные дифференциальные операторы………………67
§ 3. Метод Римана …………………………………………..70
§ 4. Функция Римана для сопряженного уравнения ……….74
§ 5. Некоторые качественные следствия формулы Римана……….76
Лекция VI. Кратные интегралы . . . . ………………………78
§ 1. Замкнутые и открытые множества точек ………………..79
§ 2. Интегралы по открытым множествам от непрерывных функций …………….84
§ 3. Интегралы по ограниченным замкнутым множествам от непрерывных функций……………..90
§ 4. Суммируемые функции ………………………………….96
§ 5. Неопределенный интеграл от функции одной переменной.
Примеры ………………………………………………..103
§ 6. Измеримые множества. Теорема Егорова ………………..106
§ 7. Сходимость в среднем суммируемых функций…………….114
§ 8. Теорема Лебега — Фубини ………………………………124
Лекция VII. Интегралы, зависящие от параметра…………….128
§ 1. Интегралы, равномерно сходящиеся при данном значении параметра……………..128
§ 2. Производная по параметру от несобственных интегралов … 131
Лекция VIII. Уравнение распространения тепла………………136
§ 1. Фундаментальное решение………………………………..136
§ 2. Решение задачи Коши……………………………………142
Лекция IX. Уравнения Лапласа и Пуассона………………….149
§ 1. Теорема максимума……………………………………..149
§ 2. Фундаментальное решение. Формула Грина………………151
§ 3. Потенциалы объема, простого слон и двойного слоя . . . 153
Лекция X. Некоторые общие следствия из формулы Грина……….159
§ 1. Теорема о среднем арифметическом……………………..159
§ 2. Поведение гармонической функции вблизи oсобой точки … 163
§ 3. Поведение гармонической функции на бесконечности. Взаимно сопряженные точки………167
Лекция XI. Уравнение Пуассона в неограниченной среде. Ньютонов потенциал…………….171
Лекция XII. Решение задачи Дирихле для шара………………176
Лекция XIII. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства . . 185
Лекция XIV. Волновое уравнение и запаздывающие потенциалы 193
§ 1. Характеристики волнового уравнения……………………193
§ 2. Метод Кирхгофа для решения задачи Коши…………….194
Лекция XV. Свойства потенциалов простого и двойного слоя . . . 208
§ 1. Общие замечания…………………………………………208
§ 2. Свойства потенциала двойного слоя……………………..209
§ 3. Свойства потенциала простого слоя……………………..216
§ 4. Правильная нормальная производная……………………225
§ 5. Нормальная производная потенциала двойного слоя……….226
§ 6. Поведение потенциалов на бесконечности………………..228
Лекция XVI. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям………………229
§ 1. Постановка задач и единственность их решений ……….229
§ 2. Интегральные уравнения для поставленных задач……….232
Лекция XVII. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости . . . 235
§ 1. Фундаментальное решение………………………………235
§ 2. Основные задачи…………………………………………237
§ 3. Логарифмический потенциал…………………………….241
Лекция XVIII. Теория интегральных уравнений………………244
§ 1. Общие замечания…………………………………………244
§ 2. Метод последовательных приближений……………………245
§ 3. Уравнение Вольтерра……………………………………249
§ 4. Уравнения с вырожденным ядром……………………….251
§ 5. Ядро специального вида. Теоремы Фредголъма…………..256
§ 6. Обобщение результатов………………………………….261
§ 7. Уравнения с неограниченными ядрами специального вида . . 264
Лекция XIX. Применение теории Фредгольма к решению задач Дирихле и Неймана………..267
§ 1. Вывод свойств интегральных уравнений………………….267
§ 2. Исследование уравнений ………………………………..269
Лекция XX. Функция Грина………………………………….274
§ 1. Дифференциальные операторы с одной независимой переменной ………………274
§ 2. Сопряженные операторы и сопряженные семейства……….278
§ 3. Основная лемма об интегралах сопряженных уравнений …….. 281
§ 4. Функция влияния……………………………………….285
§ 5. Определение и построение функции Грина………………287
§ 6. Обобщенная функция Грина для линейного уравнения 2-го порядка …………291
§ 7. Примеры ………………………………………………..296
Лекция XXI. Функция Грина для оператора Лапласа…………301
§ 1. Функция Грина для задачи Дирихле……………………301
§ 2. Функция Грина для задачи Неймана……………………306
Лекция XXII. Корректность постановки краевых задач математической физики ………..311
§ 1. Уравнение теплопроводности…………………………….311
§ 2. Понятие обобщенного решения…………………………..314
§ 3. Волновое уравнение……………………………………..318
§ 4. Обобщенные решения волнового уравнения………………322
§ 5. Свойство обобщенных решений однородных уравнений ……….329
§ 6. Неравенства Буняковского и Минковского………………334
§ 7. Теорема Рисса — Фишера………………………………..335
Лекция XXIII. Метод Фурье………………………………….338
§ 1. Разделение переменных………………………………….338
§ 2. Аналогия между задачей о колебании непрерывной среды и колебаниями механических систем с конечным числом степеней свободы………………………………..345
§ 3. Неоднородное уравнение………………………………..347
§ 4. Продольные колебания стержня со свободными концами . . . 351
Лекция XXIV. Интегральные уравнения с вещественным симметрическим ядром…………..354
§ 1. Простейшие свойства. Вполне непрерывные операторы ……….. 354
§ 2. Доказательство существования собственного значения …. 366
Лекция XXV. Билинейная формула и теорема Гильберта — Шмидта…………………370
§ 1. Билинейная формула……………………………………370
§ 2. Теорема Гильберта — Шмидта…………………………..378
§ 3. Обоснование метода Фурье для решения краевых задач математической физики………………..381
§ 4. Применение теории интегральных уравнений с симметрическим ядром…………………….390
Лекция XXVI Неоднородное интегральное уравнение с симметрическим ядром……………….391
§ 1. Разложение резольвенты………………………………..391
§ 2. Представление решения при помощи аналитических функций 393
Лекция XXVII. Колебания прямоугольного параллелепипеда 397
Лекция XXVIII Уравнение Лапласа в криволинейных координатах.
Примеры применения метода Фурье …………..403
§ 1. Уравнение Лапласа в криволинейных координатах…………403
§ 2. Функции Бесселя ……………………………………..409
§ 3 Полное разделение переменных в уравнении Δu= 0 в полярных координатах…………………412
Лекция XXIX. Гармонические полиномы и сферические функции 417
§ 1. Определение сферических функции……………………….417
§ 2. Приближение при помощи сферических функций ….. 421
§ 3. Задача Дирихле для шара……………….424
§ 4. Дифференциальные уравнения для сферических функций ……..425
Лекция XXX. Некоторые простейшие свойства сферических функций ……………..431
§ 1. Представление полиномов Лежандра……………………..431
§ 2. Производящая функция………………………………….432
§ 3 Формула Лапласа……………………………………….435
Предметный указатель ………………………..438



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
уравнения математической физики, лекции по уравнениям математической физики, Соболев математическая физика

Коментарі до Соболев С.Л. Уравнения математической физики ОНЛАЙН