Шапиро Д.А. Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 2 (Представления групп и их применение в физике. Функции Грина) ОНЛАЙН

Шапиро Д.А. Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 2 (Представления групп и их применение в физике. Функции Грина). Новосибирск: НГУ, 2004.- 140 с. Оглавление 1 Симметрии ……………………….4 1.1 Группа симметрии и абстрактная группа…………………………4 1.2 Примеры конечных групп……………………………………….7 2 Основные понятия теории групп ………………..10 2.1 Классы…………………………………………………………..10 Правые смежные классы. Индекс………………………………..10 Инвариантная подгруппа. Фактор-группа. Прямое произведение . 12 Классы сопряженных элементов ………………………………..14 2.2 Представления………………………………………………….16 3 Теория характеров ……………….19 3.1 Свойства характеров…………………………………………….19 3.2 Снятие вырождения при понижении симметрии………………….21 4 Колебания молекул ……………..25 4.1 Кратность вырождения…………………………………………..25 4.2 Характер исходного представления………………………………27 4.3 Колебательное представление……………………………………29 4.4 Собственные векторы и собственные значения……………………31 5 Группы и алгебры Ли ……………..33 5.1 Гладкое многообразие…………………………………………..33 5.2 Группа Ли……………………………………………………….34 5.3 Алгебра Ли ……………………………………………………..38 5.4 Алгебра Ли группы Ли…………………………………………..39 5.5 Экспоненциальная формула……………………………………..41 6 Отображение SU(2) в SO(3) …………..43 6.1 Примеры матричных алгебр Ли………………………………….43 6.2 Гомоморфизм SU(2) SO(3) ……………………………………47 7 Представления группы SO(3) ……………..51 7.1 Матричные представления……………………………………….51 Оператор Казимира………………………………………………51 Повышающий и понижающий операторы……………………….52 Лестница состояний …………………………………………….52 Вычисление матричных элементов………………………………54 7.2 Представление на гладких функциях координат ………………..54 7.3 Неприводимые представления групп вращения………………….55 7.4 Матрицы конечных поворотов……………………………………56 8 Тензоры ……………58 8.1 Разложение Клебша — Гордана………………………………….58 Прямое произведение представлений…………………………….58 Разложение на неприводимые……………………………………59 8.2 Три определения тензора…………………………………………61 8.3 Тензорное представление…………………………………………64 9 Правила отбора ……………….66 9.1 Симметризаторы Юнга…………………………………………..66 9.2 Инвариантные тензоры…………………………………………..69 9.3 Правила отбора………………………………………………….72 10 Функция Грина 75 10.1 Полуоднородная задача …………………………………………75 10.2 Разложение оператора по проекторам…………………………….77 10.3 Оператор Штурма — Лиувилля………………………………….79 10.4 Дополнительная литература……………………………………..82 11 Обобщенная функция Грина …………………….83 11.1 Задачи Дирихле и Неймана к уравнению Пуассона………………85 Единственность………………………………………………….86 Фундаментальные решения……………………………………..87 Функция Грина для задачи Дирихле…………………………….88 12 Функция Грина второго рода ………………….91 12.1 Формула Грина для оператора Лапласа…………………………..91 12.2 Потенциалы простого и двойного слоя…………………………..91 12.3 Уравнение Гельмгольца…………………………………………95 13 Нестационарные уравнения ………………………….98 13.1 Параболические операторы……………………………………..98 Единственность………………………………………………….99 Связь функций Грина первого и второго рода …………100 Формула Пуассона………………………101 13.2 Гиперболические операторы………………….103 Единственность………………………..103 Связь функций Грина первого и второго рода …………104 Запаздывающая функция Грина ……………….105 14 Резольвента …………………..108 14.1 Дискретный и непрерывный спектр………………108 14.2 Резольвента дифференциального оператора………….110 14.3 Построение резольвенты………. …………..112 п=1………………………………112 п=3………………………………114 15 Суперсимметричная квантовая механика ……………116 15.1 Суперзаряды …………………………116 15.2 Суперсимметричный осциллятор……………….118 15.3 Уравнение Шредингера ……………………120 15.4 Примеры……………………………122 А Свойства представлений 126 Литература 134 Предметный указатель 138



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
дифференциальные уравнения в частных производных, лекции по уравнениям математической физики, представления групп, функции Грина

Коментарі до Шапиро Д.А. Конспект лекций по математическим методам физики. Часть 2 (Представления групп и их применение в физике. Функции Грина) ОНЛАЙН