Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных ОНЛАЙН


Предназначается для студентов-математиков, а также для аспирантов и научных работников.
Оглавление
Предисловие……………………………….3
Введение…………………………………………..5
§ 1. Предмет курса…………………………………………..5
§ 2. Некоторые определения и обозначения…………………9
Глава 1. Интегралы, зависящие от параметра……………………….13
§ 1. Равномерно сходящиеся интегралы ……………………13
§ 2 Сферические координаты ……………………………………..15
§ 3. Интегральные операторы со слабой особенностью…………….19
§ 4. Интегральные операторы со слабой особенностью (продолжение) 26
Глава 2. Средние функции и обобщенные производные………29
§ 1. Усредняющее ядро …………………….29
§ 2. Средние функции ……………………. .30
§ 3. Понятие обобщенной производной……………..33
§ 4. Простейшие свойства обобщенной производной……….37
§ 5. Предельные свойства обобщенных производных ………39
§ 6. Случай одной независимой переменной …………..40
§ 7. Об одном свойстве функций, имеющих обобщенную первую производную ……………..41
§ 8. Производные от интегралов со слабой особенностью…….43
Глава 3. Пространства функций с обобщенными производными …. 44
§ 1. Определение пространства W…………44
§ 2. Соболевское интегральное тождество …………… 46
§ 3. Теоремы вложения …………………….49
§ 4 Распространение на более общие области……… . . . . 52
§ 5. Эквивалентные нормы в соболевских пространствах…….53
§ 6. Неравенства Фридрихса и Пуанкаре ……………55
Глава 4. Положительно определенные операторы …………59
§ 1. Квадратичные функционалы………………………59
§ 2. Положительно определенные операторы…………..60
§ 3. Энергетическое пространство………………..64
§ 4. Функционал энергии и задача о его минимуме ……….70
§ 5. Обобщенное решение ……………… ……72
§ 6. О сепарабельности энергетического пространства ……..75
§ 7. Расширение положительно определенного оператора ……77
§ 8. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального оператора ……..80
§ 9. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала 36
§ 10. Случай только положительного оператора…………88
Глава 5. Собственный спектр положительно определенного оператора 89
§ 1. Понятие о собственном спектре оператора …………89
§ 2. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора …………..90
§ 3. Обобщенный собственный спектр положительно определенного оператора ………………….. 91
§ 4. Вариационная формулировка задачи о собственном спектре 93
§ 5. Теорема о наименьшем собственном числе ……………………96
§ 6. Теорема о дискретности спектра…………………..98
§ 7. Разложение по собственному спектру положительно определенного оператора…………….100
§ 8. Задача Штурма — Лиувилля …….. . . . …….101
§ 9. Элементарные случаи………….. ……… 105
§ 10. Минимаксимальный принцип…………….. .109
§ 11. О росте собственных чисел задачи Штурма —Лиувилля …. 112
Глава 6. Уравнения в банаховых пространствах и одномерные сингулярные уравнения…………..114
§ 1. Некоторые понятия ……………………114
§ 2. Теоремы Нетера ………………………115
§ 3. Теоремы об устойчивости индекса ………….117
§ 4. Символ…………………………..120
§ 5. Сингулярный интеграл Коши…………………122
§ 6. Оператор Коши в пространстве L(Г)…………..126
§ 7. Символ и регуляризация сингулярного оператора …….. 131
§ 8. Вычисление индекса сингулярного оператора………..132
Глава 7. Элементы теории многомерных сингулярных интегралов . . 135
§ 1. Преобразование Фурье……………………135
§ 2. Определение и условия существования сингулярного интеграла 140
§ 3. Теорема Жиро……………………….142
§ 4. Преобразование Фурье сингулярного ядра 146
§ 5. Сингулярные интегралы в L2…………………….150
§ 6. О дифференцировании интегралов со слабой особенностью … 154
Глава 8. Уравнения и краевые задачи……………..157
§ 1. Дифференциальное выражение и дифференциальное уравнение 157
§ 2. Классификация уравнений второго порядка………..159
§ 3. Краевые условия и краевые задачи…………………163
§ 4. Задача Коши………………………..166
§ 5. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи ……………..169
Глава 9. Характеристики. Канонический вид Формулы Грина ……………… 174
§ 1. Преобразование независимых переменных………….174
§ 2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике …………………175
§ 3. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду …………178
§ 4. Формально сопряженные дифференциальные выражения …………… 179
§ 5. Дифференциальные выражения высших порядков……..180
§ 6. Формулы Грина……………………. 180
Глава 10. Обобщенные решения дифференциальных уравнений …. 185
§ 1. Локально суммируемые обобщенные решения……… 185
§ 2. Распределения и обобщенные функции…………..187
§ 3. Обобщенные функции конечного порядка…………..189
§ 4. Решения из класса обобщенных функций Сингулярные решения …………….190
§ 5. Сингулярное решение уравнения Лапласа………… 190
§ 6. Сингулярное решение уравнения теплопроводности…….194
§ 7. Сингулярное решение волнового уравнения………………196
Глава 11. Уравнение Лапласа и гармонические функции 199
§ 1. Основные понятия………………………….199
§ 2. Замена переменных в операторе Лапласа………….200
§ 3. Интегральное представление функций класса и гармонических функций……………..205
§ 4. Понятие о потенциалах……………………..
§ 5. Свойства объемного потенциала………….209
§ 6. Теоремы о среднем……………….. 212
§ 7. Принцип максимума………………..214
§ 8. Подпространства гармонических функций ………216
Глава 12. Задачи Дирихле и Неймана……………… 220
§ 1. Постановка задач……………………220
§ 2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа ……..221
§ 3. Решение задачи Дирихле для шара…………….225
§ 4. Теорема Лиувилля …………………….230
§ 5. Задача Дирихле для внешности сферы…………..231
§ 6. Производные гармонической функции на бесконечности…..232
§ 7. Устранимые особенности гармонических функций………..233
Глава 13. Сферические функции………………….235
§ 1. Понятие о сферических функциях………………235
§ 2. Дифференциальное уравнение сферических функций…….238
§ 3. Вспомогательные построения и утверждения …………239
§ 4. Оператор G и его степени. Ортогональность сферических функций ………………241
§ 5. Разложение сингулярного решения в ряд полиномов……242
§ 6. Интегральное уравнение сферических функций………….246
§ 7. Полнота системы сферических функций…………..248
Глава 14. Теория потенциала . …………………251
§ 1. Поверхности Ляпунова……………………251
§ 2. Телесный угол ……………………….253
§ 3. Прямое значение потенциала двойного слоя ………. 258
§ 4. Интеграл Гаусса………………………259
§ 5. Предельные значения потенциала двойного слоя………261
§ 6. Непрерывность потенциала простого слоя………….264
§ 7. Нормальная производная потенциала простого слоя ……266
Глава 15. Интегральные уравнения теории потенциала………271
§ 1. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям ………………271
§ 2. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства ……. 273
§ 3. Исследование первой пары сопряженных уравнений…… . 274
§ 4. Исследование второй пары сопряженных уравнений…… . 276
§ 5. Решение внешней задачи Дирихле…………………..278
§ 6. Случай двух независимых переменных …………..280
§ 7. Уравнения теории потенциала для круга ……………..284
Глава 16. Задача о косой производной ……..287
§ 1. Постановка задачи……………………..287
§ 2. Случай двух переменных. Индекс задачи 288
§ 3. О непрерывности решений………………….290
§ 4. Более простой случай задачи о косой производной…….291
§ 5. Случай многих переменных………………………..295
Глава 17. Вариационный метод. Слабые решения…………297
§ 1. Задача Дирихле с однородным краевым условием …….. 297
§ 2. Энергетическое пространство задачи Дирихле ………..302
§ 3. Задача Дирихле для однородного уравнения………. .306
§ 4. Вторые производные слабого решения уравнения Лапласа . . . 307
§ 5. Об условии продолжимости………………….309
§ 6. Функция Грина……………………….312
§ 7. Задача Неймана с однородным краевым условием 317
§ 8. Задача Неймана с неоднородным краевым условием…….321
§ 9. Эллиптические уравнения высших порядков; системы уравнений 324
§ 10. Задача Дирихле для бесконечной области…………327
Глава 18. Спектр задач Дирихле и Неймана……………329
§ 1. Об одной теореме вложения …………………329
§ 2. Спектр задачи Дирихле для конечной области……….330
§ 3. Элементарные случаи………………….331
§ 4. Оценка роста собственных чисел ………333
§ 5. Спектр задачи Неймана для конечной области ……….336
§ 6. О несамосопряженных уравнениях ……………..337
§ 7. Задачи Дирихле и Неймана для несамосопряженного эллиптического уравнения………..340
Глава 19. Сильные решения ……………………342
§ 1. Решение уравнения Лапласа для параллелепипеда …….342
§ 2. Умножение слабого решения на гладкую функцию …….345
§ 3. Сильные решения в произвольной области…… ……346
§ 4. Неоднородные краевые условия……………….351
§ 5. Случай достаточно гладкой границы…………….352
Глава 20. Уравнение теплопроводности………………354
§ 1. Уравнение теплопроводности и его характеристики…… .354
§ 2. Принцип максимума…………………… .356
§ 3. Задача Коши и смешанная задача…………358
§ 4. Теоремы единственности……………………..358
§ 5. Абстрактные функции вещественной переменной………360
§ 6. Слабое решение смешанной задачи ……………..361
Глава 21. Волновое уравнение…………………………..363
§ 1. Понятие о волновом уравнении……………….363
§ 2. Смешанная задача и ее слабое решение…………. .364
§ 3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Характеристический конус……366
§ 4. Теорема единственности для задачи Коши. Область зависимости …..367
§ 5. Явление распространения волн…………………………….369
Глава 22. Метод Фурье………. . …………….371
§ 1. Метод Фурье для уравнения теплопроводности……….371
§ 2. Обоснование метода Фурье……………….372
§ 3. О корректности смешанной задачи для уравнения теплопроводности ………………….376
§ 4. О стабилизации решения ………………….377
§ 5. О существовании классического решения………… .379
§ 6. Случай несамосопряженной эллиптической части ……..381
§ 7. Метод Фурье для волнового уравнения………………..385
§ 8. Обоснование метода для однородного уравнения………387
§ 9. Обоснование метода для однородных начальных условий …. 390
§ 10. Уравнение колебаний струны. Условия существования классического решения…….392
Глава 23. Задача Коши для уравнения теплопроводности ……. 394
§ 1. Формула Пуассона……………………..394
§ 2. Другой вывод формулы Пуассона ……………..397
§ 3. Обоснование формулы Пуассона ………………400
§ 4 Бесконечная скорость теплопередачи ……………404
Глава 24. Задача Коши для волнового уравнения…………405
§ 1. Применение преобразования Фурье……………..405
§ 2. Применение сингулярного решения …………….407
§ 3. Случай нечетного числа координат. Обобщенная формула Кирхгофа ……………..410
§ 4. Задний фронт волны…………………….413
§ 5. Обоснование формулы Кирхгофа……………..414
§ 6. Случай четного числа координат………………417
§ 7. Уравнение колебаний струны………………..419
§ 8. О корректности задачи Коши………………..420
Литература………………………………421
Алфавитный указатель……………….. .423



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
линейные уравнения в частных производных, Михлин математическая физика

Коментарі до Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных ОНЛАЙН