Михлин С.Г. Курс математической физики ОНЛАЙН


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие…………………………………………………………9
Введение…………………………………………………………….12
Раздел I. Средние функции и обобщенные производные 17
Глава 1. Средние функции……………………………………..17
§ 1. Усредняющее ядро……………………………17
§ 2. Средние функции…………………………………………..19
§ 3. Сходимость средних функций…………………………….21
Упражнения……………………………………………………..24
Глава 2. Обобщенные производные…………………………..25
§ 1. Понятие обобщенной производной……………………….25
§ 2. Простейшие свойства обобщенной производной……….31
§ 3. Предельные свойства обобщенных производных……….33
§ 4. Случай одной независимой переменной………………….34
§ 5. Соболевские пространства и теоремы вложения……….36
Упражнения……………………………………………………..37
Раздел II. Элементы вариационного исчисления…………39
Глава 3. Основные понятия……………………………………39
§ 1. Примеры на экстремум функционала……………………39
§ 2. Постановка задачи вариационного исчисления …………41
§ 3. Вариация и градиент функционала……………………….44
§ 4. Уравнение Эйлера…………………………………………52
§ 5. Вторая вариация. Достаточное условие экстремума ……… 56
§ 6. Изопериметрическая задача………………………………57
§ 7. Минимизирующая последовательность……………………63
Упражнения……………………………………………………..64
Глава 4. Функционалы, зависящие от числовых функций вещественных переменных………………66
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления……-66
§ 2 Исследование второй вариации…………………………69
§ 3. Случай многих независимых переменных………………72
§ 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков……… 75
§ 5. Функционалы, зависящие от нескольких функций……. 78
§ 6. Естественные краевые условия…………………………..80
Глава 5. Минимум квадратичного функционала . . . . ……….89
§ 1. Понятие о квадратичном функционале….. …………89
§ 2. Положительно определенные операторы………………..91
§ 3. Энергетическое пространство…………………………..97
§ 4. Задача о минимуме квадратичного функционала ……….106
§ 5. Обобщенное решение………………..109
§ 6. О сепарабельности энергетического пространства … 112
§ 7. Расширение положительно определенного оператора ……. 115
§ 8. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения…………120
§ 9. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала …………………………126
§ 10. Случай только положительного оператора……..130
Упражнения………………………….130
Глава 6. Собственный спектр положительно определенного оператора………………….132
§ 1. Понятие о собственном спектре оператора……..132
§ 2. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора………….134
§ 3. Обобщенный собственный спектр положительно определенного оператора……………135
§ 4. Вариационная формулировка задачи о собственном спектре…………..138
§ 5. Теорема о наименьшем собственном числе……..141
§ 6. Теорема о дискретности спектра…………..144
§ 7. Задача Штурма – - Лиувилля……………..148
§ 8. Элементарные случаи………………….154
§ 9. Минимаксимальный принцип…………….155
§ 10. О росте собственных чисел задачи Штурма—Лиувилля 158
Упражнения ………………………….160
Раздел III. Элементы теории интегральных уравнений…… 161
Глава 7. Вполне непрерывные операторы……………………..161
§ 1. Необходимые сведении из функционального анализа ……. 161
§ 2. Оператор Фредгольма………………….163
§ 3. Интегральный оператор со слабой особенностью…..166
§ 4. Операторы со слабой особенностью в пространстве непрерывных функций……………….170
Упражнения………………………….173
Глава 8. Теория Фредгольма…………………174
§ 1. Уравнения с в. н. о. Интегральные уравнения……174
§ 2. Сведение к конечномерному уравнению. Доказательство первой и второй теорем Фредгольма….177
§ 3. Доказательство третьей теоремы Фредгольма ……. 180
§ 4. Доказательство четвертой теоремы Фредгольма…..182
§ 5. Альтернатива Фредгольма……………….185
§ 6 о непрерывности решений уравнения со слабой особенностью ………………187
раздел IV. Общие сведения об уравнениях в частных производных………………..190
Глава 9. Уравнения и краевые задачи……………190
§ 1. Дифференциальное выражение и дифференциальное уравнение………………………190
§ 2. Классификация уравнений второго порядка……..192
§ 3. Краевые условия и краевые задачи………….196
§ 4. Задача Коши……………………….200
§ 5. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи……………….202
Глава 10. Характеристики. Канонический вид. Формулы Грина 207
§ 1. Преобразование независимых переменных………207
§ 2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике……………………209
§ 3. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду ………………………..212
§ 4. Случай двух независимых переменных………..213
§ 5. Формально сопряженные дифференциальные выражения 215
§ 6. Формулы Грина……………………..217
Раздел V. Уравнения эллиптического типа……….222
Глава 11. Уравнение Лапласа и гармонические функции . ……. 222
§ 1. Основные понятия……………………222
§ 2. Сингулярное решение уравнения Лапласа………225
§ 3. Интегральное представление функций класса …… 226
§ 4. Интегральное представление гармонической функции …… 229
§ 5. Понятие о потенциалах………………..231
§ 6. Свойства объемного потенциала……………234
§ 7. Теорема о среднем…………………..241
§ 8. Принцип максимума………………….245
§ 9. О сходимости последовательностей гармонических функций…………….247
§ 10. Распространение на уравнения с переменными коэффициентами ……….251
Глава 12. Задачи Дирихле и Неймана……………259
§ 1. Постановка задач…………………….259
§ 2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа…..261
§ 3. Решение задачи Дирихле для шара…………..265
§ 4. Теорема Лиувилля……………………272
§ 5. Задача Дирихле для внешности сферы………..273
§ 6. Производные гармонической функции на бесконечности 274
§ 7. Теорема единственности дтя внешней задачи Неймана 275
Глава 13. Элементарные решения задач Дирихле и Неймана 278
§ 1. Задачи Дирихле и Неймана для крута………..278
§ 2. Задача Дирихле для кругового кольни ………283
§ 3. Применение конформного преобразования………284
§ 4. Сферические функции и их свойства…………288
§ 5. Задачи Дирихле и Неймана, решаемые с помощью сферических функций……………………201
Упражнения……………………………295
Глава 14. Вариационный метод в задаче Дирихле. Другие положительно определенные задачи…….296
§ 1. Неравенство Фридрихса…………………296
§ 2. Оператор задачи Дирихле……………….298
§ 3. Энергетическое пространство задачи Дирихле……302
§ 4. Обобщенное решение задачи Дирихле …. …….306
§ 5. Задача Дирихле для однородного уравнения……..308
§ 6. О существовании вторых производных решения задачи Дирихле………………………….311
§ 7. Эллиптические уравнения высших порядков и системы уравнений…………………………313
§ 8. Задача Дирихле для бесконечной области………317
Упражнения……………………………320

Глава 15. Спектр задачи Дирихле……………..321
§ 1. Интегральное представление функции, равной нулю на границе конечной области ………………. 321
§ 2. Спектр задачи Дирихле для конечной области……323
§ 3. Элементарные случаи………………….324
§ 4. Оценка роста собственных чисел……………328
Глава 16. Задача Неймана………………….333
§ 1. Случай положительного С (х)……………..333
§ 2. Случай С (х) = 0……………………335
§ 3. Интегральное представление С. Л. Соболева…….337
§ 4. Исследование оператора ………………340
§ 5. Обобщенное решение задачи Неймана………..344
Упражнения……………………………346
Глава 17. Несамосопряженные эллиптические уравнения. . . 347
§ 1. Обобщенное решение………………….347
§ 2. Теоремы Фредгольма………………….349
Глава 18. Метод потенциалов для однородного уравнения Лапласа……………….353
§ 1. Поверхности Ляпунова………………..354
§ 2. Телесный угол……………………..359
§ 3. Потенциал двойного слоя и его прямое значение …….365
§ 4. Ингеграл Гаусса…………………….367
§ 5. Предельные значения потенциала двойного слоя …. 370
§ 6. Непрерывность потенциала простого слоя……..374
§ 7. Нормальная производная потенциала простого слоя …….. 377
§ 8. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям………..382
§ 9. Задачи Дирихле и Неймана в полупространстве ………. 384
§ 10. Исследование первой пары сопряженных уравнений…….. 386
§ 11. Исследование второй пары сопряженных уравнений…….. . 388
§ 12. Решение внешней задачи Дирихле………….391
§ 13. Случай двух независимых переменных………..394
§ 14. Уравнения теории потенциала для круга………400
Глава 19. Задача о косой производной …………..403
§ 1. Постановка задачи……………………403
§ 2. Оператор Гильберта . . ………………..405
§ 3. Уравнения с оператором Гильберта………….410
§ 4. Число решений и индекс задачи о косой производной на двумерной плоскости ………..418
Раздел VI. Нестационарные уравнения….. …….421
Глава 20. Уравнение теплопроводности…………..422
§ 1. Уравнение теплопроводности и его характеристики. . . 422
§ 2. Принцип максимума…………………..424
§ 3. Задача Коши и смешанная задача…………..427
§ 4. Теоремы единственности……………….429
§ 5. Абстрактные функции вещественной переменной…..431
§ 6. Обобщенное решение смешанной задачи……….432
Глава 21. Волновое уравнение………………..436
§ 1. Понятие о волновом уравнении……. ………436
§ 2. Смешанная задача и ее обобщенное решение…….437
§ 3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Характеристический конус………441
§ 4. Теорема единственности для задачи Коши. Область зависимости……………………….442
§ 5. Явление распространения волн …………………………..445
§ 6. Обобщенное решение задачи Коши………….447
Глава 22. Метод Фурье……………………451
§ 1. Метод Фурье для уравнения теплопроводности……451
§ 2. Обоснование метода…………………..453
§ 3. О существовании классического решения. Частный случай…………………………457
§ 4. Метод Фурье для волнового уравнения………..459
§ 5. Обоснование метода для однородного уравнения…..462
§ 6. Обоснование метода для однородных начальных условий 466
§ 7. Уравнение колебаний струны. Условия существования классического решения……………468
Глава 23. Задача Коши для уравнения теплопроводности . . 472
§ 1. Некоторые свойства преобразования Фурье……..472
§ 2. Вывод формулы Пуассона……………….477
§ 3. Обоснование формулы Пуассона……………481
§ 4. Бесконечная скорость теплопередачи ……………………485
Глава 24. Задача Коши для волнового уравнения…….486
§ 1. Применение преобразования Фурье………….486
§ 2. Преобразование решения………………..489
§ 3. Случай трехмерного пространства…………..493
§ 4. Обоснование формулы Кирхгофа……………495
§ 5. Задний фронт волны………………….498
§ 6. Случай m = 2 (уравнение колебаний мембраны)…..500
§ 7. Уравнение колебаний струны……………..501
§ 8. Волновое уравнение с переменными коэффициентами . . 503
Раздел VII. Корректные и некорректные задачи……507
Глава 25. О корректности задач математической физики . . . 507
§ 1. Основная теорема……………………507
§ 2. Положительно определенные задачи………….509
§ 3. Задача Дирихле для однородного уравнения Лапласа. . 510
§ 4. Внешняя задача Неймана………………..511
§ 5. Внутренняя задача Неймана………………514
§ 6. Задачи теплопроводности………………..517
§ 7. Задачи для волнового уравнения……………519
§ 8. О некорректности задач математической физики…..521
Добавления……………………………524
Добавление 1. Эллиптические системы…………..524
Добавление 2. О задаче Коши для гиперболических уравнений. В. А1 Бабин…………………….532
Добавление 3. Некоторые вопросы теории общих дифференциальных операторов. В. Г. Мазья………….545
Добавление 4. Нелинейные эллиптические уравнения второго порядка. Я. Бакельман……………….555
Литература . …………………………..569
Предметный указатель………………………574



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
лекции по математической физике, Михлин математическая физика, курс математической физики

Коментарі до Михлин С.Г. Курс математической физики ОНЛАЙН