Брело М. Основы классической теории потенциала ОНЛАЙН


Современная теория потенциала находит важные и все более расширяющиеся применения в теории функций, теории краевых задач математической физики и теории вероятностей. Эта книга будет полезной для всех математиков н физиков, интересы которых лежат в указанных областях. Для понимания изложения требуется владение основными понятиями математического анализа и теоретико-множественной топологии.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика ………………………………….5
Предисловие ……………………………………..7
Предисловие ко второму изданию……………………8
Глава I. Некоторые свойства действительных гармонических функций ………….9
§ 1. Принцип минимума (или максимума)…………9
§ 2. Топологическая лемма (Шоке)………………..10
§ 3. Классическая лемма Дени — Картана ……….11
§ 4. Перечень свойств сходимости и компактности для гармонических функций ……………………13
§ 5. Норма Дирихле и теорема полноты…………..14
§ 6. Уравнение ΔТ = 0 в смысле теории обобщенных функций………………………………….17
§ 7. Решение задачи Дирихле в кольце…………….17
§ 8. Непрерывность градиента гармонической функции на границе………………………………..20
Библиография………………………….22
Глава II. Функции супергармонические и почти супергармонические …………………………….24
§ 1. Функции супергармонические в широком смысле (Ф. Рисс)………………………………..24
§ 2. Параметры Бляшке — Привалова…………….25
§ 3. Супергармонические функции………….28
§ 4. Примеры супергармонических и субгармонических функций………………………………….29
§ 5. Локальные свойства……………………….30
§ 6. Аппроксимация супергармонических функций … 32
§ 7. Теорема Рисса о выпуклости………………..33
§ 8. Гармонические миноранты ………………….35
§ 9. Почти супергармонические функции (Шпильрейн) 36
Библиография……………………..40
Глава III. Введение полярных множеств…………..41
§ 1. Определение………………………………41
§ 2. Свойства………………………………….43
Библиография…………………………..44
Глава IV. Классические потенциалы ………………45
§ 1. Определение………………………………45
§ 2. Использование обобщенных функций …………46
§ 3. Функция Грина для шара и потенциал Грина . . 48
§ 4. Закон взаимности…………………………52
§ 5. Непрерывность потенциала на носителе масс . . 53
§ 6. Преобразования пространства………………..54
Библиография…………………………..56
Глава V. Классические и общие емкости …………57
Первая часть. Классические емкости Грина в шаре……….57
§ 1. Емкостный потенциал и емкость компактного множества ……………..57
§ 2. Свойства емкости и емкостного потенциала … 58
§ 3. Емкости произвольных множеств…………….61
Вторая часть. Емкость Шоке……………………….64
§ 4. Общее определение емкости………………….64
§ 5. Последовательные разности………………….65
§ 6. Внутренняя емкость множества………………68
§ 7. Внешняя емкость…………………………..69
§ 8. φ-измеримые множества …………………..71
Библиография…………………………..75
Глава VI. Общее понятие потенциала и теорема сходимости. Первоначальные применения. Введение понятия выметания……………………76
§ 1. Общие понятия…………………………….76
§ 2. Полунепрерывные и регулярные ядра ……….79
§ 3. Теорема сходимости……………………….82
§ 4. Применение к классическому случаю…………85
§ 5. Классические применения теоремы сходимости . . 86
Библиография………………………89
Глава VII. Разреженные множества………………..90
§ 1. Определение ……………………………..90
§ 2. Свойства………………………………….91
§ 3. Общий критерий разреженности …………….92
§ 4. Основная теорема о множестве точек разрежения некоторого множества………..94
§ 5. Случай замкнутых множеств …………..95
§ 6. Тонкая топология …………………………98
Библиография…………………………..102
Глава VIII. Задача Дирихле в пространстве Z?71 . . . . 103
§ 1. Определение функции Hf……………………103
§ 2. Свойства . ……………………………….104
§ 3. Случай конечных и непрерывных граничных данных 108
§ 4. Основная теорема разрешимости …………….110
§ 5. Устранимые множества на границе…………..112
§ 6. Поведение решения на границе ……………..113
§ 7. Поведение Hf в иррегулярной граничной точке когда функция f разрешима …..115
Библиография…………………….117
Глава IX. Функция Грина……………………….119
§ 1. Определение ……………………………..119
§ 2. Продолжение функции Грина ………………..121
§ 3. Различные применения; характеризация иррегулярных точек……………….122
§ 4. Гармоническая мера и выметание…………….123
§ 5. Глобальное представление Рисса на произвольном открытом множестве ………..124
§ 6. Наилучшая и наибольшая гармонические миноранты ………………………126
§ 7. Выметание в произвольном ограниченном открытом множестве с ядром Грина……….128
Библиография…………………………..130
Глава X. Норма и принцип Дирихле………………131
§ 1. Предварительная форма ……………………131
§ 2. Классический принцип Дирихле………………132
§ 3. Функции типа BLD…………………………136
Библиография…………………………….137
Глава XI. Энергетические понятия………………..138
§ 1. Введение ……………………………….138
§ 2. Взаимная энергия двух положительных мер ……..140
§ 3. Энергия мер произвольного знака…………….142
§ 4. Принцип мажорирования или принцип максимума А. Картана………….143
§ 5. Основная теорема А. Картана………………144
§ 6. Проекция в …………………………….148
§ 7. Выметание относительно произвольного компактного множества………149
§ 8. Емкостное распределение и энергия …………151
§ 9. Энергия и интеграл Дирихле………………..152
§ 10. Распространение на случай ограниченной области Q в пространстве Rn ………..154
Библиография…………………………..157
Глава XII. Экстремальные элементы и граница Мартина 158
§ 1. Граница Мартина…………………………..158
§ 2. Интегральное представление положительных гармонических функций……………..160
§ 3. Формулировка теоремы Шоке и ее применение …….. 161
§ 4. О роли границы Мартина ……………………162
Библиография .. …………………..163
Краткий обзор и дополнительная библиография современной теории потенциала………..165
Дополнительная библиография . . . 167
Приложение. Основные элементарные понятия, относящиеся к гармоническим функциям ………………169
§ 1. Основные свойства…………………………169
§ 2. Применение обыкновенного лапласиана…………176
§ 3. Конформное преобразование . ……………….179
§ 4. Логарифмический потенциал……………182
§ 5. Аналитичность гармонических функций…………185
§ 6. Интеграл Пуассона ………………………187
§ 7. Семейства гармонических функций. Сходимость ……….192
§ 8. Изучение гармонических функций в окрестности особой точки……………195
§ 9. Распространение на евклидовы пространства Rn при n>2………………..202



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
теория потенциала, классическая теория потенциала

Коментарі до Брело М. Основы классической теории потенциала ОНЛАЙН