Конвей Дж., Смит Д. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях ОНЛАЙН


Для студентов, аспирантов и научных работников.
Оглавление
Предисловие
Часть I. Комплексные числа
Глава 1. Введение 15
§ 1.1. Алгебра действительных чисел Е…………………………..15
§ 1.2. Высшие размерности…………………………………………17
§ 1.3. Ортогональные группы……………………………………..18
§ 1.4. История кватернионов и октав…………………………….19
Глава 2. Комплексные числа и двумерная геометрия 23
§ 2.1. Повороты и отражения ……………………………………..23
§ 2.2. Конечные подгруппы в GО2 и SО2…………………………25
§ 2.3. Гауссовы целые числа……………………………………….26
§ 2.4. Клейновы целые числа ……………………………………..28
Приложение. Двумерные пространственные группы…………..29
Часть II. Кватернионы
Глава 3. Кватернионы и трехмерные группы 35
§ 3.1. Кватернионы и трехмерные повороты…… …………..35
§ 3.2. Немного сферической геометрии…………………………..38
§ 3.3. Перечисление групп поворотов…………………………….40
§ 3.4. Обсуждение групп…………………………………………..42
§ 3.5. Конечные группы кватернионов…………………………..43
§ 3.6. Хиральное и ахиральное, диплоидное и гаплоидное … 46
§ 3.7. Проективные, или эллиптические, группы………………..47
§ 3.8. Проективные группы расскажут нам все………………….48
§ 3.9. Геометрическое описание групп…………………………..49
Приложение. Отображение v -> qvq является простым поворотом……………………50
Глава 4. Кватернионы и четырехмерные группы 55
§ 4.1. Введение……………………………………………………….55
§ 4.2. Два отображения…………………………………………….56
§ 4.3. Обозначения для групп……………………………………..57
§ 4.4. Кокстеровские обозначения для групп многогранников . 59
§ 4.5. Более ранние классификации………………………………62
§ 4.6. Замечание о хиральности……………………………………63
Приложение. Полнота таблиц……………………………………..64
Глава 5. Гурвицевы целые кватернионы 71
§ 5.1. Гурвицевы целые кватернионы…………………………….71
§ 5.2. Простые и единицы…………………………………………..72
§ 5.3. Кватернионное разложение обычных простых чисел … 74
§ 5.4. Задача о метакоммутировании…………………………….77
§ 5.5. Разложение липшицевых целых…………………………….78
Часть III. Октавы
Глава 6. Композиционные алгебры 83
§ 6.1. Свойства умножения…………………………………………83
§ 6.2. Свойства сопряжения……………………………………….84
§6.3. Свойства удвоения…………………………………………..85
§ 6.4. Завершение доказательства теоремы Гурвица…………..86
§ 6.5. Другие свойства алгебр……………………………………..88
§ 6.6. Отображения Lx, Rx и Вx……………………………………89
§ 6.7. Координаты в кватернионах и октавах……………………91
§ 6.8. Симметрии и октавы: диассоциативность………………..92
§ 6.9. Алгебры над другими полями………………………………92
§ 6.10. Тождества с одним, двумя, четырьмя и восемью
квадратами……………………………………………………93
§ 6.11. Высшие тождества с квадратами: теория Пфистера … 94
Приложение 1. О диксоновском удвоении……………………….96
Приложение 2. Что сохраняет кватернионную подалгебру? … 97
Глава 7. Лупы Муфанг 99
§ 7.1. Лупы с обращением…………………………………………..99
§7.2. Изотопии………………………….100
§ 7.3. Монотопии и их сателлиты………………..101
§ 7.4. Различные формы правил Муфанг……………104
Глава 8. Октавы и восьмимерная геометрия 107
§ 8.1. Изотопии и S08………………………107
§ 8.2. Ортогональные изотопии и группа Spin………..109
§ 8.3. Тройственность………………………………………………НО
§ 8.4. Семь правых как одно левое……………….110
§ 8.5. Другие теоремы об умножении…………………………….112
§ 8.6. Три семимерные группы в одной восьмимерной……113
§ 8.7. О сателлитах………………………………………………….115
Глава 9. Октавные целые О 117
§ 9.1. Определение целости…………………………………………117
§ 9.2. На пути к октавным целым………………..118
§ 9.3. Решетка Е8 (Коркин, Золотарев, Госсет) ………..125
§ 9.4. Деление с остатком и идеалы………………128
§ 9.5. Разложение на множители в О8……………..130
§ 9.6. Число разложений на простые ……………..134
§ 9.7. «Метазадачи» для разложения октав…………..136
Глава 10. Автоморфизмы и подкольца в О 139
§ 10.1. 240 октавных единиц…………………..139
§ 10.2. Два типа ортогональности……………….140
§ 10.3. Группа автоморфизмов кольца О……………142
§ 10.4. Кольца октавных единиц………………..145
§ 10.5. Стабилизаторы колец единиц………………147
Приложение. Доказательство теоремы 5……………152
Глава 11. Редукция О по модулю 2 155
§ 11.1. Зачем редуцировать по модулю 2?……………155
§ 11.2. Решетка Ев по модулю 2…………………156
§ 11.3. О стабилизаторе (Я)……………………159
§ 11.4. Остальные подкольца по модулю 2…………..164
Глава 12. Октавная проективная плоскость ОР2 167
§ 12.1. Исключительные группы Ли и «магический квадрат»
Фрейденталя………………………..167
§ 12.2. Октавная проективная плоскость……………168
§12.3. Координаты на OP2……………………170
Литература 173
Предметный указатель 177



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
Конвей алгебра кватернионов, теория композиционных алгебр, теория тройственности

Коментарі до Конвей Дж., Смит Д. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях ОНЛАЙН