Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел ОНЛАЙН


Для математиков разной квалификации в качестве введения в предмет, для преподавателей и студентов вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ……………………………….5
Предисловие…………………………………………………..6
Глава 1. Однозначное разложение на множители…………..9
§ 1. Однозначное разложение на множители в Z………………9
§2. Однозначное разложение на множители в к[х]……………14
§3. Однозначное разложение на множители в областях
главных идеалов……………………………………….17
§4. Кольца Z[i] и Z[ω]……………………………………..22
Замечания………………………………………………..23
Упражнения………………………………………………24
Глава 2. Применения однозначного разложения на множители………28
§ 1. В Z бесконечно много простых чисел……………………28
§ 2. Некоторые арифметические функции……………………29
§ 3. Ряд 1/р расходится………………………………….33
§4. Рост функции π(х)…………………………………….34
Замечания………………………………………………..38
Упражнения………………………………………………39
Глава 3. Сравнения…………………………………………43
§ 1. Элементарные наблюдения……………………………..43
§ 2. Сравнения в Z…………………………………………44
§ 3. Сравнение ах = b (mod m)………………………………46
§ 4. Китайская теорема об остатках…………………………49
Замечания………………………………………………..52
Упражнения………………………………………………53
Глава 4. Структура группы E/(Z/nZ)……………………….55
§ 1. Примитивные корни и структура группы U(Z/nZ)……….55
§ 2. n-степенные вычеты……………………………………62
Замечания………………………………………………..64
Упражнения………………………………………………66
Глава 5. Квадратичный закон взаимности………………….68
§ 1. Квадратичные вычеты…………………………………68
§2. Квадратичный закон взаимности………………………..73
§3. Доказательство квадратичного закона взаимности……….79
Замечания………………………………………………..83
Упражнения………………………………………………85
Глава 6. Квадратичные суммы Гаусса………………………89
§ 1. Алгебраические числа и целые алгебраические числа…….89
§ 2. Квадратичный характер числа 2………………………..93
§ 3. Квадратичные суммы Гаусса……………………………94
§ 4. Знак квадратичной суммы Гаусса……………………….97
Замечания……………………………………………….100
Упражнения……………………………………………..101
Глава 7. Конечные поля……………………………………104
§ 1. Основные свойства конечных полей…………………….104
§2. Существование конечных полей………………………..108
§3. Приложение к квадратичным вычетам…………………110
Замечания……………………………………………….111
Упражнения……………………………………………..111
Глава 8. Суммы Гаусса и Якоби…………………………..114
§ 1. Мультипликативные характеры………………………..114
§ 2. Суммы Гаусса………………………………………..117
§3. Суммы Якоби………………………………………..119
§ 4. Уравнение хn + уn = 1 в Fp…………………………….125
§5. Дальнейшие результаты о суммах Якоби……………….126
§6. Применения………………………………………….129
§ 7. Общая теорема……………………………………….130
Замечания……………………………………………….132
Упражнения……………………………………………..134
Глава 9. Кубический и биквадратичный законы взаимности………138
§1. Кольцо Z[ω]………………………………………….139
§2. Кольца классов вычетов………………………………141
§3. Характер кубического вычета………………………….142
§ 4. Доказательство кубического закона взаимности…………146
§ 5. Другое доказательство кубического закона взаимности …. 148
§6. Характер кубического вычета числа 2………………….150
§ 7. Биквадратичный закон взаимности: предварительные сведения…..151
§8. Символ вычета степени 4………………………………153
§9. Биквадратичный закон взаимности…………………….155
§ 10. Рациональный биквадратичный закон взаимности……..160
§11. Построение правильных многоугольников……………..163
§ 12. Кубические суммы Гаусса и проблема Куммера………..164
Замечания……………………………………………….166
Упражнения……………………………………………..168
Глава 10. Уравнения над конечными полями……………..172
§1. Аффинное пространство, проективное пространство и многочлены…….172
§2. Теорема Шевалле…………………………………….178
§3. Суммы Гаусса и Якоби над конечными полями………….181
Замечания……………………………………………….184
Упражнения……………………………………………..185
Глава 11. Дзета-функция………………………………….188
§ 1. Дзета-функция проективной гиперповерхности………….188
§ 2. След и норма в конечных полях……………………….196
§3. Гациональность дзета-функции гиперповерхности………….199
§ 4. Доказательство соотношения Хассе—Дэвенпорта………..202
§5. Последняя запись…………………………………….204
Замечания……………………………………………….207
Упражнения……………………………………………..208
Глава 12. Теория алгебраических чисел…………………..212
§ 1. Алгебраические подготовительные результаты………….212
§2. Однозначность разложения на множители в полях алгебраических чисел..215
§ 3. Ветвление и степень…………………………………..222
Замечания……………………………………………….226
Упражнения……………………………………………..228
Глава 13. Квадратичные и круговые поля………………..232
§1. Квадратичные числовые поля………………………….232
§2. Круговые поля……………………………………….238
§ 3. Снова квадратичный закон взаимности…………………246
Замечания……………………………………………….247
Упражнения……………………………………………..248
Глава 14. Соотношение Штикельбергера и закон взаимности Эйзенштейна……..251
§ 1. Норма идеала………………………………………..251
§ 2. Символ степенного вычета…………………………….252
§3. Соотношение Штикельбергера…………………………256
§ 4. Доказательство соотношения Штикельбергера………….258
§5. Доказательство закона взаимности Эйзенштейна………..265
§6. Три приложения……………………………………..271
Замечания……………………………………………….276
Упражнения……………………………………………..277
Глава 15. Числа Бернулли…………………………………281
§ 1. Числа Бернулли; определения и приложения……………281
§ 2. Сравнения для чисел Бернулли………………………..288
§ 3. Теорема Хербранда……………………………………297
Замечания……………………………………………….302
Упражнения……………………………………………..304
Глава 16. L-функции Дирихле…………………………….307
§ 1. Дзета-функция……………………………………….307
§ 2. Частный случай………………………………………310
§ 3. Характеры Дирихле…………………………………..312
§4. L-функции Дирихле…………………………………..315
§ 5. Ключевой шаг………………………………………..318
§6. Значения L(s,x) в отрицательных целых числах………..323
Замечания……………………………………………….329
Упражнения……………………………………………..330
Глава 17. Диофантовы уравнения…………………………333
§ 1. Общие сведения и первые примеры…………………….333
§ 2. Метод спуска…………………………………………336
§ 3. Теорема Лежандра……………………………………337
§ 4. Теорема Софи Жермен……………………………….340
§5. Уравнение Пелля……………………………………..342
§ 6. Сумма двух квадратов………………………………..344
§ 7. Сумма четырех квадратов…………………………….347
§8. Уравнение Ферма: экспонента 3………………………..351
§9. Кубические кривые с бесконечным числом рациональных точек……….353
§ 10. Уравнение у2 = х3 + к………………………………..355
§11. Первый случай гипотезы Ферма для регулярных показателей……….357
§ 12. Диофантовы уравнения и диофантово приближение……360
Замечания……………………………………………….362
Упражнения……………………………………………..363
Глава 18. Эллиптические кривые………………………….366
§ 1. Общие замечания…………………………………….366
§2. Локальная и глобальная дзета-функции эллиптической кривой…….371
§ 3. у2 = х3 + D, локальный случай………………………..375
§ 4. у2 = х3 – Dx, локальный случай……………………….377
§ 5. L-функции Гекке……………………………………..378
§ 6. у2 = х3 – Dx, глобальный случай………………………381
§ 7. у2 = х3 + D, глобальный случай……………………….384
§8. Заключительные замечания……………………………387
Замечания……………………………………………….390
Упражнения……………………………………………..391
Указания к отдельным упражнениям………………………….394
Литература………………………………………………….404
Предметный указатель……………………………………….419



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
Теория чисел, Айерлэнд теория чисел

Коментарі до Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел ОНЛАЙН