Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений ОНЛАЙН


Изложение начинается с общих вопросов, связанных с методами дискретизации и анализом ошибок. Рассматриваются проблемы аппроксимации, сходимости и устойчивости. Детально исследуются одношаговые, многошаговые и экстраполяционные алгоритмы. Для каждого из них проводится анализ областей устойчивости и сильной устойчивости, а также даются локальные и интегральные оценки погрешностей.
Книга полезна математикам, работающим в области численных методов, и всем лицам, занимающимся приложениями этих методов. Она доступна студентам университетов и втузов, специализирующимся в области прикладной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию…………………………..5
Предисловие и введение……………………………………7
Глава 1. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ …………….13
§ 1.1. Основные определения…………………………..13
1.1.1. Методы дискретизации……………………..13
1.1.2. Согласованность…………………………..17
1.1.3. Сходимость………………………………20
1.1.4. Устойчивость…………………………….22
§ 1.2. Результаты об устойчивости……………………..24
1.2.1. Существование решения дискретной задачи … 24
1.2.2. Основная теорема сходимости………………27
1.2.3. Линеаризация …………………………..29
1.2.4. Устойчивость близких дискретных задач …. 33
§ 1.3. Асимптотические разложения ошибок дискретизации . . 37
1.3.1. Асимптотическое разложение локальной ошибки дискретизации…………………………….37
1.3.2. Асимптотическое разложение глобальной ошибки дискретизации…………………………….40
1.3.3. Асимптотические разложения по четным степеням n…… 45
1.3.4. Главные члены ошибки ……………………46
§ 1.4. Применения асимптотических разложений…………49
1.4.1. Экстраполяция Ричардсона ………………..49
1.4.2. Линейная экстраполяция ………………….54
1.4.3. Рациональная экстраполяция ………………60
1.4.4. Разностная коррекция ……………………62
§ 1.5. Анализ ошибок………………………………..67
1.5.1. Вычислительная ошибка……………………67
1.5.2. Оценки ошибки …………………………69
1.5.3. Сильная устойчивость ……………………73
1.5.4. Экстраполяция Ричардсона и оценка ошибки 75
1.5.5. Статистический анализ ошибок округления . . 78
§ 1.6. Некоторые практические аспекты ………………..81
Глава 2. ПОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ …………………………83
§ 2.1. Предварительные замечания ……….. 83
2.1.1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных 83 уравнений………………………………..83
2.1.2. Сетки……………………………………85
2.1.3. Определение пошаговых методов…………….87
2.1.4. Сужение интервала интегрирования . . . … 90
2.1.5. Обозначения …………………………….93
§ 2.2. Согласованность, сходимость и устойчивость для пошаговых методов………………………………….96
2.2.1. Наш выбор норм в Еn и Е………………….96
2.2.2. Другие определения согласованности и сходимости 98
2.2.3. Другие определения устойчивости …………..101
2.2.4. Норма Спейкера в Е……………………..103
2.2.5. Устойчивость близких дискретных задач …. 108
§ 2.3. Сильная устойчивость ПШМ……………………..111
2.3.1. Возмущение ЗК1…………………………..111
2.3.2. Дискретизации (ЗК1)……………………..117
2.3.3. Экспоненциальная устойчивость для разностных уравнений на [0, ∞) ……………………..119
2.3.4. Экспоненциальная устойчивость близких дискретных задач………………………………..124
2.3.5. Сильная экспоненциальная устойчивость …. 127
2.3.6. Области устойчивости ……………………129
2.3.7. Жесткие системы дифференциальных уравнений 132
Глава 3. МЕТОДЫ РУНГЕ — КУТТЫ……………………..134
§ 3.1. РК-процедуры ………………………………..134
3.1.1. Определение РК-процедуры ………………..134
3.1.2. Локальное решение и функция приращения . . 137
3.1.3. Элементарные дифференциалы………………139
3.1.4. Разложение локального решения…………….143
3.1.5. Точная функция приращения ………………146
§ 3.2. Группа РК-схем………………………………..149
3.2.1. РК-схемы………………………………..149
3.2.2. Обратные РК-схемы……………………….154
3.2.3. Эквивалентные производящие матрицы……….157
3.2.4. Явные и неявные РК-схемы ………………..162
3.2.5. Симметричные РК-процедуры ………………165
§ 3.3. РК-методы и их порядки ……………………….166
3.3.1. РК-методы ………………………………166
3.3.2. Порядок согласованности ………………….169
3.3.3. Построение РК-процедур высокого порядка … 173
3.3.4. Достижимый порядок m-стадийных РК-процедур 176
3.3.5. Эффективный порядок РК-схем………………181
$ 3.4. Анализ ошибок дискретизации ………………….183
3.4.1. Главная функция ошибки………………….183
3.4.2. Асимптотическое разложение ошибки дискретизации 187
3.4.3. Главный член глобальной ошибки дискретизации 192
3.4.4. Оценка локальной ошибки дискретизации . . . 196
§ 3.5. Сильная устойчивость РК-методов ………………..200
3.5.1. Сильная устойчивость для достаточно больших n 200
3.5.2. Сильная устойчивость для произвольного n. . 206
3.5.3. Области устойчивости РК-методов …………..211
3.5.4. Использование областей устойчивости для общих (ЗК1)…….216
3.5.5. Указания насчет общего подхода…………….220
Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ МНОГОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ …………223
§ 4.1. Линейные А:-шаговые схемы……………………..223
4.1.1. Определения …………………………….223
4.1.2. Порядок линейных A-шаговых схем…………..230
4.1.3. Построение линейных fc-шаговых схем высокого порядка …………….235
§ 4.2. Однородные линейные fc-шаговые методы …………239
4.2.1. Определения. Согласованность………………239
4.2.2. Вспомогательные результаты ………………244
4.2.3. Устойчивость однородных линейных A-шаговых методов……………..248
4.2.4. Сходимость………………………………253
4.2.5. Наивысший достижимый порядок сходимости . . 257
§ 4.3. Циклические линейные fc-шаговые методы…………259
4.3.1. Устойчивость циклических линейных A-шаговых методов……………259
4.3.2. Вспомогательный метод ……………………265
4.3.3. Достижимый порядок циклических линейных многошаговых методов……….270
§ 4.4. Асимптотические разложения ……………………274
4.4.1. Локальная ошибка дискретизации…………..274
4.4.2. Асимптотическое разложение глобальной ошибки дискретизации; предварительные результаты . . 278
4.4.3. Случай отсутствия посторонних существенных корней ……………………………………..281
4.4.4. Случай посторонних существенных корней . . . 288
§ 4.5. Дальнейший анализ ошибок дискретизации…………294
4.5.1. Слабая устойчивость……………………….294
4.5.2. Сглаживание …………………………….297
4.5.3. Симметричные линейные A-шаговые схемы . . . 300
4.5.4. Асимптотические разложения по степеням h2 . . 306
4.5.5. Оценка ошибки дискретизации …………….310
§ 4.6. Сильная устойчивость линейных многошаговых методов 314
4.6.1. Сильная устойчивость для достаточно больших n……….. 314
4.6.2. Области устойчивости линейных многошаговых методов ……………….318
4.6.3. Сильная устойчивость для произвольного n. . . . 322
Глава 5. МНОГОСТАДИЙНЫЕ МНОГОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ 325
§ 5.1. Общий анализ ………………………………..325
5.1.1. Один общий класс многостадийных многошаговых процедур…………………..325
5.1.2. Простые m-стадийные А:-шаговые методы …. 329
5.1.3. Устойчивость и сходимость простых т-стадийных fc-шаговых методов…………..332
§ 5.2. Предиктор-корректор-методы ……………………336
5.2.1. Определения. Подклассы……………………336
5.2.2. Устойчивость и порядок предиктор-корректор-методов ……………………..339
5.2.3. Анализ ошибки дискретизации………………346
5.2.4. Оценка локальной ошибки дискретизации . . . 351
5.2.5. Оценка глобальной ошибки дискретизации . . . 353
§ 5.3. Предиктор-корректор-методы с промежуточными точками ………………….357
5.3.1. Определения …………………………….357
5.3.2. Определение коэффициентов и достижимый порядок 359
5.3.3. Устойчивость ПК-методов высокого порядка с промежуточными точками …………..304
§ 5.4. Циклические пошаговые методы ………………….361
5.4.1. Определения …………………………….366
5.4.2. Устойчивость и распространение ошибки …. 370
5.4.3. Примитивные m-циклические fc-шаговые методы 376
5.4.4. Общие прямые га-циклические А:-шаговые методы 382
§ 5.5. Сильная устойчивость …………………………385
5.5.1. Характеристический многочлен. Области устойчивости …………………385
5.5.2. Области устойчивости ПК-методов…………..387
5.5.3. Области устойчивости циклических методов . . 391
Глава 6. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДЛЯ ЗК1 . . . 394
§ 6.1. Методы дискретизации с производными функции f….. 394
6.1.1. Рекуррентное вычисление высших производных локального решения …………..394
6.1.2. Методы степенных рядов ………………….397
6.1.3. Теория возмущений Грёбнера — Кнаппа—Ваннера 398
6.1.4. Методы Грёбнера — Кнаппа — Ваннера……….401
6.1.5. Методы Рунге — Кутты — Фельберга ……….405
6.1.6. Многошаговые методы с высшими производными 410
§ 6.2. Общие многозначные методы……………………..413
6.2.1. Подход Нордсика…………………………413
6.2.2. Предиктор-корректор-методы Нордсика……….418
6.2.3. Эквивалентность обобщенных методов Нордсика ……. 421
6.2.4. Сравнительная оценка методов Нордсика …. 426
§ 6.3. Экстраполяционные методы ……………………..427
6.3.1. Структура экстраполяционных методов …. 427
6.3.2. Метод Грэгга …………………………..429
6.3.3. Сильная устойчивость метода Грэгга…………434
6.3.4. Метод экстраполяции Грэгга — Булирша — Штёра 438
6.3.5. Методы экстраполяции для жестких систем . . . 441
Список литературы ……………………………………….447
Именной указатель…………………………………………..452
Предметный указатель………………………..454



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
методы дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений, Штеттер методы дискретизации

Коментарі до Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений ОНЛАЙН