Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы ОНЛАЙН


Для математиков-вычислителей, инженеров, решающих задачи алгебры на ЭВМ.
Оглавление
Предисловие к русскому изданию………………………………5
Предисловие………………………………………………..7
Введение . ……………………………………………11
Глава 1. Основные сведения о самосопряженных матрицах …… 16
§ 1.1. Введение………………………16
§ 1.2. Евклидово пространство…………………………….16
§ 1.3. Собственные значения…………….. . 20
§ 1.4. Самосопряженные матрицы ………………………….21
§ 1.5. Квадратичные формы………………………………..25
§ 1.6. Матричные нормы………………………………….28
§ 1.7. Обобщенная проблема собственных значений…………….31
Глава 2. Задачи, помехи и средства . .’…………………………33
§ 2.1. Что мало? Что велико? ……………… 33
§ 2.2. Задачи …………………………..35
§ 2.3. Противоречивые требования . ……. … . . 36
§ 2.4. Арифметика конечной точности 39
§ 2.5. Взаимное уничтожение ……………………42
§ 2.6. Анализ скалярного произведения……………….45
§ 2.7. Можно ли находить малые собственные значения с малой
относительной ошибкой? ….. …………………..49
§ 2.8. Существующие программы ……………..50
§ 2.9. Длительность вычислений…… 52
§ 2.10. Другие виды машинной архитектуры ……53
Глава 3. Количество собственных значений 55
§ 3.1. Треугольное разложение……………………55
§ 3.2. Анализ ошибок треугольного разложения . ………59
§ 3.3. Деление спектра …………………………62
§ 3.4. Связь с последовательностями Штурма ………. 68
§ 3.5. Методы деления пополам и секущих ………. . 69
§ 3.6. Скрытые собственные значения …….. 71
§ 3.7. Характеристический многочлен …… 72
Глава 4. Простые векторные итерации ………….. 74
§ 4.1. Собственные векторы матриц ранга …… 74
§ 4.2. Прямая и обратная итерация …….. 75
§ 4.3. Преимущества плохо обусловленной системы …….81
§ 4.4. Сходимость и ортогональность………. . 84
§ 4.5. Простые оценки ошибок…………… 85
§ 4.6. Итерация с отношением Релея ……….. 86
§ 4.7. Локальная сходимость …………… 68
§ 4.8. Монотонность невязок …………91
§ 4.9. Глобальная сходимость …………… 92
Глава 5. Исчерпывание ………………….
§ 5.1. Исчерпывание вычитанием ……….. . . 97
§ 5.2. Исчерпывание посредством сужения……………………100
§ 5.3. Исчерпывание посредством подобных преобразований …. 101
Глава 6. Полезные ортогональные матрицы. (Орудия ремесла.) …… 103
§ 6.1. Важность ортогональности ………….. 10З
§ 6.2. Перестановки…… 104
§ 6.3. Отражения (или симметрии)…………….105
§ 6.4. Плоские вращения……………. 108
§ 6.5. Распространение ошибки в последовательности ортогональных конгруэнций……110
§ 6.6. Обратный анализ ошибок ………………… 113
§ 6.7. QR-разложение и процесс Грама—Шмндта ……………. 114
§ 6.8. Быстрые масштабированные вращения ……………116
§ 6.9. Ортогонализация в условиях округлений ……………121
Глава 7. Трехдиагональная форма ……………. 127
§ 7.1. Введение……… 127
§ 7.2. Единственность приведения ………………. 128
§ 7.3. Минимальные характеристики ………………. 130
§ 7.4. Явное приведение заполненной матрицы …………….. 132
§ 7.5. Приведение ленточной матрицы ……………… 136
§ 7.6. Кажущаяся неустойчивость ………………. 139
§ 7.7. Собственные значения — простые…………………. 140
§ 7.8. Ортогональные многочлены ……………….141
§ 7.9. Собственные векторы ……………. 144
§ 7.10. Последовательность Штурма …………..147
§ 7.11. Когда можно пренебречь внедиагональным элементом …………….. 150
§ 7.12. Обратные задачи на собственные значения 152
Глава 8. Алгоритмы QR в QL ………………….. 156
§ 8.1. Введение 156
§ 8.2. QL-преобразование …157
§ 8.3. Сохранение ширины ленты …158
§ 8.4. Связь между алгоритмами QL и QR… 159
§ 8.5. QL, степенной метод и обратная итерация …160
§ 8.6. Сходимость основного QL-алгоритма …. 162
§ 8.7. Отношение Релея как сдвиг ……163
§ 8.8. Внедиагональные элементы…………………..165
§ 8.9. Оценка невязки прн сдвиге по Уилкинсону …..166
§ 8.10. Трех диагональный QL-алгоритм сходится всегда …….. . 168
§ 8.11. Асимптотическая скорость сходимости……. . . 171
§ 8.12. Трехдиагональный QL-алгоритм с явными сдвигами …….. 174
§8.13. Вытеснение выступа …………176
§ 8.14. Сдвиги на любой случай ……………. 179
§ 8.15. Как избавиться от квадратных корней ………181
§ 8.16. QL-алгоритм для ленточных матриц ………….. 188
Глава 9. Методы Якоби ………… 191
§ 9.1. Вращение плоскости………………. 191
§ 9.2. Вращения Якоби ………………….. 192
§ 9.3. Сходимость …………………… 195
§ 9.4. Различные стратегии……197
§ 9.5. Асимптотически квадратичная сходимость 198
§ 9.6. Оценка методов Якоби……………………….201
Глава 10. Оценки для собственных значений …………….203
§ 10.1. Теорема Коши о разделении ………………. 204
§ 10.2. Минимаксные характеризацни ………….206
§ 10.3. Теорема о монотонности …………..209
§ 10.4. Теорема о разделении с учетом невязок …………212
§ 10.5. Оптимальные интервалы Леманна…………….216
§ 10.6. Использование оценок для отсутствующей подматрицы …………. 221
§ 10.7. Использование лакуи в спектре …………….. 225
Глава 11. Аппроксимации из подпространства …………… 228
§ 11.1. Подпространства и их представление ……. 228
§ 11.2. Инвариантные подпространства …………230
§ 11.3. Процедура Релея —Ритца ………… 232
§ 11.4. Оптимальность……………………..234
§ 11.5. Оценки через невязку для очень близких значений Ритца ………..237
§ 11.6. Оценок для векторов Ритца через невязки не существует …………. 240
§ 11.7. Отделенность в спектре ……………. 241
§ 11.8. Сжатие невязки………………….245
§ 11.9. Априорные оценки для внутренних аппроксимаций Ритца…………….. 246
§ 11.10. Неортогональные базисы …………………. 249
§ 11.11. Теорема о расширении ………………. 251
Глава 12. Подпространства Крылова ……………..255
§ 12.1. Введение………………………………….255
§ 12.2. Основные свойства………………… 257
§ 12.3. Полиномиальные представления …………..259
§ 12.4. Оценки Каниэля и Саада для ошибок …………262
§ 12.5. Сравнение со степенным методом ……… 270
§ 12.6. Частичное приведение к трехднагональному виду……………….. 272
Глава 13. Алгоритмы метода Ланцоша…………………. 276
§ 13.1. Подпространства Крылова + процедура Релея — Ритца = метод Ланцоша 276
§ 13.2. Оценивание точности f …………. 279
§ 13.3. Влияние арифметики с конечной точностью …………. 281
§ 13.4. Теорема Пэжа . . . . ………… 284
§ 13.5. Альтернативная формула для Ру………. 288
§ 13.6. Сходимость вызывает потерю ортогональности ………….. 289
§ 13.7. Сохранение ортогональности …………292
§ 13.8. Выборочная ортогоналнзация …………..295
§ 13.9. Анализ выборочной ортогонализации……………. 300
§ 13.10. Ленточный (нли блочный) алгоритм Ланцоша ………… 305
Глава 14. Итерирование подпространства ……………. 309
§ 14.1. Введение ……………… 309
§ 14.2. Реализации ………………… 311
§ 14.3. Усовершенствования ……………… 316
§ 14.4. Сходимость………………….. 318
§ 14.5. Секционные методы ……………… 322
Глава 15. Обобщенная линейная проблема собственных значений ……………… 325
§ 15.1. Введение…………………………………………325
§ 15.2. Симметрии недостаточно…………………………….326
§ 15.3. Одновременная диагонализация двух квадратичных форм 329
§ 15.4. Явное приведение к стандартной форме………………332
§ 15.5. Приведение Фикса — Хайбергера ……….334
§ 15.6. QZ-алгоритм……….. ……………338
§ 15.7. Обобщенный метод Якоби………………….338
§ 15.8. Неявное приведение к стандартной форме . ………..340
§ 15.9. Простые векторные итерации……341
§ 15.10. Аппроксимации Релея — Ритца …………345
§ 15.11. Алгоритмы Ланцоша…………………….346
§ 15.12. Итерирование подпространства ………………..349
§ 15.13. Практические соображения …… ………………352
Приложение А. Элементарные матрицы и матрицы ранга единица…………….354
Приложение В. Многочлены Чебышева . . ……………………356
Литература……………. . 359
Аннотированная библиография ………………………367
Обозначения ……………369
Именной указатель ………371
Предметный указатель ……….. 373



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
Парлетт численные методы, симметричная проблема собственных значений, численные методы решения задач на собственные значения

Коментарі до Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы ОНЛАЙН