Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов ОНЛАЙН


Книга рассчитана на лиц, занимающихся теорией вычислений, работников вычислительных учреждений, студентов и преподавателей вузов. Она может быть полезным справочником для всех, кто по роду работы соприкасается с научными и техническими расчетами.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию………………………………..7
Предисловие к первому изданию………………………………..8
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Глава 1. Числа и многочлены Бернулли………………9
§ 1. Числа Бернулли……………………………………….9
§ 2. Многочлены Бернулли………………………………….11
§ 3. Периодические функции, связанные с многочленами Бернулли 19
§ 4. Разложение произвольной функции по многочленам Бернулли 20
Глава 2. Ортогональные многочлены…………………………23
§ 1. Некоторые общие теоремы об ортогональных многочленах . . 23
§ 2. Многочлены Якоби и Лежандра…………………………28
§ 3. Многочлены Чебышёва………………………………….31
§ 4. Многочлены Чебышёва — Эрмита…………………………37
§ 5. Многочлены Чебышёва — Лягерра……………………….38
Глава 3. Интерполирование функций…………………………40
§ 1. Конечные разности и разностные отношения………………40
§ 2. Интерполирование по значениям функции………………..44
§ 3. Интерполирование с кратными узлами……………………48
§ 4. Тригонометрическое интерполирование……………………52
Глава 4. Линейные нормированные пространства. Линейные операторы ………………………………………………….57
§ 1. Линейные нормированные пространства………………….57
§ 2. Линейные операторы……………………………………61
§ 3. Сходимость последовательности линейных операторов …. 64
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Глава 5. Квадратурные суммы и задачи, с ними связанные.
Остаток приближенной квадратуры……………………….67
§ 1. Квадратурные суммы……………………………………67
§ 2. Об остатке приближенной квадратуры и его представлении 74
Глава 6. Интегрирование функций, для которых известна таблица
значений. Интерполяционные квадратуры……….. 79
§ 1. О содержании задачи……………….. 79
§ 2. Интерполяционные квадратурные формулы и их остаточные
члены ……………………… 80
§ 3. Формулы Ньютона — Котеса…………….. 83
§ 4. Некоторые простейшие формулы Ньютона — Котеса….. 95
§ 5. Правила квадратур, имеющие степень точности ниже интерполяционной …………………….101
§ 6. Об отбрасывании узлов при построении правил интегрирования ………………………..105
§ 7. Правила интегрирования, использующие значения функции
и производных……………………107
§ 8. Некоторые результаты общей теории интерполяционных квадратур ……………………….111
Глава 7. Квадратуры наивысшей алгебраической степени точности …………………………116
§ 1. Общие теоремы…………………..116
§ 2. Постоянная весовая функция……………..123
§ 3 – § 5. Интегралы вида ………129
Глава 8. Интегрирование периодических функций……..148
§ 1. О задаче интегрирования периодической функции и форме
интеграла……………………..148
§ 2. Интерполяционные правила интегрирования………149
§ 3. Правило наивысшей степени точности…………151
§ 4. Остаток квадратуры периодической функции и его оценка . . 164
Глава 9. Квадратурные формулы, содержащие наперед заданные узлы………………………168
§ 1. Некоторые общие теоремы………………168
§ 2. Формулы частного вида……………….174
§ 3. Замечание о вычислении интегралов со знакопеременной весовой функцией…………………..183
§ 4. Уточнение правил гауссова типа……………187
Глава 10. Квадратурные формулы с равными коэффициентами 191
§ 1. Нахождение узлов………………….191
§ 2. Единственность квадратурной формулы наивысшей алгебраической степени точности с равными коэффициентами…..195
§ 3. Интегралы с постоянной весовой функцией……….199
Глава 11. Квадратуры с наименьшей оценкой остатка……209
§ 1. О задаче минимизации остатка квадратуры……… . 209
§ 2. Минимизация остатка в классах iSp………….210
§ 3. Минимизация остатка в классах Ст…………..225
§ 4. Задача минимизации оценки остатка квадратуры с закрепленными узлами…………………….228
Глава 12. Сходимость квадратурного процесса……….236
§ 1. О проблеме сходимости квадратурного процесса…….236
§ 2. Сходимость интерполяционных квадратур для аналитических
функций………………………237
§ 3. Сходимость общего квадратурного процесса………257
Глава 13. Увеличение точности квадратуры и ускорение сходимости квадратурного процесса……………..267
§ 1. О двух направлениях в задаче увеличения точности…..267
§ 2. Ослабление особенности интегрируемой функции…….270
§ 3. Эйлеровы методы разложения остатка квадратуры……274
§ 4. Увеличение точности квадратуры при наличии короткого главного участка интегрирования в интегральном представлении остатка………………………296
§ 5. Увеличение скорости сходимости квадратурного процесса . . 307
Глава 14. Численное преобразование Фурье………..315
§ 1. Преобразование Фурье на конечном отрезке и вычисление
коэффициентов Фурье гладкой периодической функции …. 315
§ 2. О вычислении вспомогательных интегралов, содержащих тригонометрические множители……………..321
§ 3. Применение алгебраического интерполирования к вычислению
коэффициентов Фурье………………..328
§ 4. Увеличение точности вычисления коэффициентов Фурье путем
предварительной подготовки функции…………331
§ 5. Интегральные преобразования Фурье и интерполяционные методы их численного осуществления………….335
§ 6. Правила наивысшей степени точности…………341
§ 7. Увеличение точности вычисления интегралов Фурье при помощи предварительной подготовки функции……….344
Глава 15. Численное обращение преобразования Лапласа …. 352
§ 1. Преобразование Лапласа, задача его обращения и связь ее
с преобразованием Фурье………………352
§ 2. Интерполяционные правила……………..358
§ 3. Правило наивысшей степени точности…………364
§ 4. Квадратурное правило с равными коэффициентами……369
§ 5. Замечания об увеличении точности вычислений при помощи
предварительной подготовки изображения……….372
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Глава 16. Введение……………………377
§ 1. Предварительные замечания……………..377
§ 2. Погрешность вычислений……………….382
§ 3. Сходимость и устойчивость вычислительного процесса …. 388
Глава 17. Интегрирование функции, заданной таблицей значений 398
§ 1. Содержание задачи и один из методов ее решения…….398
§ 2. Остаток………………………402
Глава 18. Вычисление неопределенного интеграла с малым числом значений интегрируемой функции………….403
§ 1. Содержание задачи и некоторые общие теоремы о расчетной
формуле ………………………403
§ 2. Расчетные формулы частного вида…………..409
Глава 19. Методы вычисления, использующие несколько предшествующих значений интеграла . ……………419
§ 1. Содержание задачи………………….419
§ 2. Условия, которые должны выполняться при достижении наивысшей степени точности ………………………………422
§ 3. Существование и число интерполирований наивысшей степени
точности………………………425
§ 4. Остаток интерполирования и минимизация его оценки …. 426
§ 5. Условия положительности коэффициентов aj………428
§ 6. Связь с задачей решения дифференциального уравнения при
помощи многочлена…………………430
§ 7. Формулы частного вида………………..432
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Глава 20. О методах вычисления, основанных на приведении
многократного интеграла к однократным………..435
§ 1. Предварительные замечания о «проблеме большого числа
узлов»……………………….435
§ 2. Влияние формы области на выбор правил интегрирования . . . 437
Глава 21. Интерполяционные кубатурные формулы…….442
§ 1. Алгебраическое интерполирование функций многих переменных 442
§ 2. Интерполяционные кубатурные формулы………..447
§ 3. Примеры построения кубатурных формул………..453
Глава 22. Кубатурные формулы с наименьшим числом узлов . . 462
§ 1. Кубатурная формула, точная для многочленов первой степени 462
§ 2. Кубатурные формулы, точные для многочленов второй степени 463
§ 3. Кубатурные формулы, точные для многочленов третьей степени 467
§ 4. Кубатурная формула Радона……………..471
Глава 23. Кубатурные формулы для областей частного вида . . . 488
§ 1. Гиперкуб……………………..488
§ 2. Гиперсфера…………………….489
§ 3. Гипершар……………………..492
§ 4. Симплекс……………………. .495



Читать онлайн
скачать бесплатно


Теги:
Методы вычислений, Численные методы, Крылов вычислительные методы, Приближенное вычисление интегралов

Коментарі до Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов ОНЛАЙН